As funções de tensão e corrente nos terminais de um elemento são descritas por
\begin{gathered} v(t)= \begin{cases}10+100 \mathrm{t} \times 10^{-6} \mathrm{~V}, & \text { para } 0 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 20 \mathrm{ks} \\\\ 12 \mathrm{~V}, & \text { para } 20 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 40 \mathrm{ks}, \\\\ 0 \mathrm{~V}, & \text { para } \mathrm{t}<0 \mathrm{~s},\end{cases} \\\ i(t)= \begin{cases}30-50 \mathrm{t} \times 10^{-5} \mathrm{~A}, & \text { para } 0 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 20 \mathrm{ks} \\\\ 20 \mathrm{~A}, & \text { para } 20 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 40 \mathrm{ks}, \\\\ 0 \mathrm{~A}, & \text { para } \mathrm{t}<0 \mathrm{~s},\end{cases} \end{gathered}
e
(a) Determine a potência instantânea emt \mathrm{t}=10 \mathrm{ks}.
(b) Determine a quantidade de carga transferida no intervalo 0 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 40 \mathrm{ks}.
(c) Determine a energia transferida no intervalo 0 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 40 \mathrm{ks}.

Passo 1

O enunciado fornece as funções tensão v(t) e corrente i(t) nos terminais de um elemento, em três intervalos de tempo. As informações relevantes (tal como dadas) são:
  • Para 0\\ \mathrm{ks}\le t\le20\\ \mathrm{ks}: v(t)=10+100\,t\times10^{-6}\\ \mathrm{V}, \qquad i(t)=30-50\,t\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.
  • Para 20\\ \mathrm{ks}\le t\le40\\ \mathrm{ks}: v(t)=12\\ \mathrm{V}, \qquad i(t)=20\\ \mathrm{A}.
  • Para t<0: v(t)=0\\ \mathrm{V},\qquad i(t)=0\\ \mathrm{A}.
O que o enunciado pede:
(a) potência instantânea em t=10\\ \mathrm{ks};
(b) quantidade de carga transferida no intervalo 0\\ \mathrm{ks}\le t\le40\\ \mathrm{ks};
(c) energia transferida no intervalo 0\\ \mathrm{ks}\le t\le40\\ \mathrm{ks}.
Observação importante para começar: as expressões contêm fatores como 100\times10^{-6} e 50\times10^{-5}. Vou simplificar essas constantes e usar t em segundos no cálculo. Lembre-se que 1\\ \mathrm{ks}=1000\\ \mathrm{s}. Não vou assumir nada além do enunciado; tudo o que eu uso será mostrado.

Passo 2

Primeiro simplificar as constantes nas expressões (mantendo t em segundos):
  • Calcular 100\times10^{-6}=1\times10^{-4}. Logo, para 0\le t\le20\\ \mathrm{ks}: v(t)=10+1\times10^{-4}\,t\\ \mathrm{V}.
  • Calcular 50\times10^{-5}=5\times10^{-4}. Logo, para 0\le t\le20\\ \mathrm{ks}: i(t)=30-5\times10^{-4}\,t\\ \mathrm{A}.
Verificação rápida (consistência com o trecho seguinte do enunciado):
  • Se t=20\\ \mathrm{ks}=20000\\ \mathrm{s}, então v=10+10^{-4}\cdot20000=10+2=12\\ \mathrm{V} (coincide com o trecho constante 12\\ \mathrm{V}).
  • Se t=20000\\ \mathrm{s}, i=30-5\times10^{-4}\cdot20000=30-10=20\\ \mathrm{A} (coincide com o trecho constante 20\\ \mathrm{A}).
    Tudo faz sentido, portanto as formas simplificadas são corretas.
Também anoto a fórmula básica que vou usar:
  • Potência instantânea: \displaystyle p(t)=v(t)\,i(t). Aqui p em watts (W) se v está em volts (V) e i em ampères (A).
  • Carga transferida entre t_1 e t_2: \displaystyle Q=\int_{t_1}^{t_2} i(t)\,dt. Resultado em coulombs (C).
  • Energia transferida entre t_1 e t_2: \displaystyle W=\int_{t_1}^{t_2} p(t)\,dt=\int_{t_1}^{t_2} v(t)i(t)\,dt. Resultado em joules (J).

Passo 3

Converter t=10\\ \mathrm{ks} para segundos:
t=10\\ \mathrm{ks}=10\times1000=10000\\ \mathrm{s}.
Avaliar v(t) e i(t) usando as fórmulas do primeiro intervalo ( 0\le t\le20000\\ \mathrm{s}):
  • v(10000)=10+1\times10^{-4}\cdot10000=10+1=11\\ \mathrm{V}.
  • i(10000)=30-5\times10^{-4}\cdot10000=30-5=25\\ \mathrm{A}.
Explicando: multipliquei o coeficiente que ficou simplificado por t em segundos; unidades conferem ( \mathrm{V} e \mathrm{A}).

Passo 4

Usar \displaystyle p(t)=v(t)\,i(t). Substituindo os valores obtidos:
p(10000)=v(10000)\,i(10000)=11\cdot25=275\\ \mathrm{W}.
Interpretação breve: potência positiva indica que, naquele instante, a potência está sendo absorvida pelo elemento (se o sinal e convenção do enunciado corresponderem à forma usual).

Passo 5

A carga total entre 0 e 40\\ \mathrm{ks} é
Q=\int_{0}^{40\\ \mathrm{ks}} i(t)\,dt.
Vou dividir o intervalo em duas partes conforme o enunciado:
  • de 0 a 20\\ \mathrm{ks} ( 0 a 20000\\ \mathrm{s}), com i(t)=30-5\times10^{-4}t;
  • de 20\\ \mathrm{ks} a 40\\ \mathrm{ks} ( 20000 a 40000\\ \mathrm{s}), com i(t)=20\\ \mathrm{A} constante.

Passo 6

Calcular a primeira parte:
Q_1=\int_{0}^{20000} \bigl(30-5\times10^{-4}t\bigr)\,dt.
Executando a integral:
Q_1=\Bigl[30t-\frac{5\times10^{-4}}{2}t^2\Bigr]_0^{20000}.
Calcular termos:
30\cdot20000=600000, \qquad \frac{5\times10^{-4}}{2}=2{,}5\times10^{-4},
2{,}5\times10^{-4}\cdot(20000)^2=2{,}5\times10^{-4}\cdot4\times10^{8}=100000.
Portanto
Q_1=600000-100000=500000\\ \mathrm{C}.
Calcular a segunda parte:
Q_2=\int_{20000}^{40000} 20\,dt =20\cdot(40000-20000)=20\cdot20000=400000\\ \mathrm{C}.
Somando as duas partes:
Q=Q_1+Q_2=500000+400000=900000\\ \mathrm{C}.
Breve comentário: o valor é grande porque as correntes são grandes ( \sim\!20 30\\ \mathrm{A}) e o intervalo de tempo é muito longo (dezenas de milhares de segundos).

Passo 7

A energia total transferida é
W=\int_{0}^{40000} v(t)i(t)\,dt.
Divide-se novamente em dois trechos:
  • de 0 a 20000\\ \mathrm{s}: usar v(t)=10+10^{-4}t e i(t)=30-5\times10^{-4}t, então p(t)=v(t)i(t) é um polinômio;
  • de 20000 a 40000\\ \mathrm{s}: v=12\\ \mathrm{V}, i=20\\ \mathrm{A}, logo p=12\cdot20=240\\ \mathrm{W} constante.

Passo 8

Multiplicar:
p(t)=(10+10^{-4}t)(30-5\times10^{-4}t).
Fazendo a distribuição term a term:
10\cdot30=300,
10\cdot\bigl(-5\times10^{-4}t\bigr)=-5\times10^{-3}t,
10^{-4}t\cdot30=3\times10^{-3}t,
10^{-4}t\cdot\bigl(-5\times10^{-4}t\bigr)=-5\times10^{-8}t^2.
Somando os termos lineares:
-5\times10^{-3}t+3\times10^{-3}t=-2\times10^{-3}t.
Logo
p(t)=300-2\times10^{-3}t-5\times10^{-8}t^2\quad\text{para }0\le t\le20000.

Passo 9

Calcular
W_1=\int_{0}^{20000}\bigl(300-2\times10^{-3}t-5\times10^{-8}t^2\bigr)\,dt.
Antiderivada:
\Bigl[300t-\frac{2\times10^{-3}}{2}t^2-\frac{5\times10^{-8}}{3}t^3\Bigr]_0^{20000} = \Bigl[300t-1\times10^{-3}t^2-\frac{5\times10^{-8}}{3}t^3\Bigr]_0^{20000}.
Avaliar em t=20000:
300\cdot20000=6000000,
1\times10^{-3}\cdot(20000)^2=1\times10^{-3}\cdot4\times10^{8}=400000,
\frac{5\times10^{-8}}{3}\cdot(20000)^3 =\frac{5\times10^{-8}}{3}\cdot8\times10^{12} =\frac{5\cdot8\times10^{4}}{3} =\frac{400000}{3}=133333{,}333\ldots
Portanto
W_1=6000000-400000-133333{,}333\ldots=5466666{,}666\ldots\\ \mathrm{J}.

Passo 10

No segundo intervalo p=240\\ \mathrm{W} constante, então
W_2=\int_{20000}^{40000}240\,dt=240\cdot(40000-20000)=240\cdot20000=4800000\\ \mathrm{J}.
Somando:
W=W_1+W_2=5466666{,}666\ldots+4800000=10266666{,}666\ldots\\ \mathrm{J}.
Arredondando (por exemplo, 4 algarismos significativos) dá aproximadamente
W\approx1{,}0267\times10^{7}\\ \mathrm{J}.

Resposta

p(10\\ \mathrm{ks})=275\\ \mathrm{W}
Q_{0\to40\\ \mathrm{ks}}=9{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{C}
W_{0\to40\\ \mathrm{ks}}=1{,}0266666667\times10^{7}\\ \mathrm{J} (aprox 1{,}0267\times10^{7}\\ \mathrm{J})

Exercícios relacionados