e
(a) Determine a potência instantânea emt \mathrm{t}=10 \mathrm{ks}.
(b) Determine a quantidade de carga transferida no intervalo 0 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 40 \mathrm{ks}.
(c) Determine a energia transferida no intervalo 0 \mathrm{ks} \leq \mathrm{t} \leq 40 \mathrm{ks}.
Passo 1
O enunciado fornece as funções tensão v(t) e corrente i(t) nos terminais de um elemento, em três intervalos de tempo. As informações relevantes (tal como dadas) são:
Para 0\\ \mathrm{ks}\le t\le20\\ \mathrm{ks}:v(t)=10+100\,t\times10^{-6}\\ \mathrm{V}, \qquad i(t)=30-50\,t\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.
Para 20\\ \mathrm{ks}\le t\le40\\ \mathrm{ks}:v(t)=12\\ \mathrm{V}, \qquad i(t)=20\\ \mathrm{A}.
Para t<0:v(t)=0\\ \mathrm{V},\qquad i(t)=0\\ \mathrm{A}.
O que o enunciado pede:
(a) potência instantânea em t=10\\ \mathrm{ks};
(b) quantidade de carga transferida no intervalo 0\\ \mathrm{ks}\le t\le40\\ \mathrm{ks};
(c) energia transferida no intervalo 0\\ \mathrm{ks}\le t\le40\\ \mathrm{ks}.
Observação importante para começar: as expressões contêm fatores como 100\times10^{-6} e 50\times10^{-5}. Vou simplificar essas constantes e usar t em segundos no cálculo. Lembre-se que 1\\ \mathrm{ks}=1000\\ \mathrm{s}. Não vou assumir nada além do enunciado; tudo o que eu uso será mostrado.
Passo 2
Primeiro simplificar as constantes nas expressões (mantendo t em segundos):
Calcular 100\times10^{-6}=1\times10^{-4}. Logo, para 0\le t\le20\\ \mathrm{ks}:v(t)=10+1\times10^{-4}\,t\\ \mathrm{V}.
Calcular 50\times10^{-5}=5\times10^{-4}. Logo, para 0\le t\le20\\ \mathrm{ks}:i(t)=30-5\times10^{-4}\,t\\ \mathrm{A}.
Verificação rápida (consistência com o trecho seguinte do enunciado):
Se t=20\\ \mathrm{ks}=20000\\ \mathrm{s}, então v=10+10^{-4}\cdot20000=10+2=12\\ \mathrm{V} (coincide com o trecho constante 12\\ \mathrm{V}).
Se t=20000\\ \mathrm{s}, i=30-5\times10^{-4}\cdot20000=30-10=20\\ \mathrm{A} (coincide com o trecho constante 20\\ \mathrm{A}).
Tudo faz sentido, portanto as formas simplificadas são corretas.
Também anoto a fórmula básica que vou usar:
Potência instantânea: \displaystyle p(t)=v(t)\,i(t). Aqui p em watts (W) se v está em volts (V) e i em ampères (A).
Carga transferida entre t_1 e t_2: \displaystyle Q=\int_{t_1}^{t_2} i(t)\,dt. Resultado em coulombs (C).
Energia transferida entre t_1 e t_2: \displaystyle W=\int_{t_1}^{t_2} p(t)\,dt=\int_{t_1}^{t_2} v(t)i(t)\,dt. Resultado em joules (J).
Interpretação breve: potência positiva indica que, naquele instante, a potência está sendo absorvida pelo elemento (se o sinal e convenção do enunciado corresponderem à forma usual).
Passo 5
A carga total entre 0 e 40\\ \mathrm{ks} é
Q=\int_{0}^{40\\ \mathrm{ks}} i(t)\,dt.
Vou dividir o intervalo em duas partes conforme o enunciado:
de 0 a 20\\ \mathrm{ks} (0 a 20000\\ \mathrm{s}), com i(t)=30-5\times10^{-4}t;
de 20\\ \mathrm{ks} a 40\\ \mathrm{ks} (20000 a 40000\\ \mathrm{s}), com i(t)=20\\ \mathrm{A} constante.
Breve comentário: o valor é grande porque as correntes são grandes (\sim\!20–30\\ \mathrm{A}) e o intervalo de tempo é muito longo (dezenas de milhares de segundos).
Passo 7
A energia total transferida é
W=\int_{0}^{40000} v(t)i(t)\,dt.
Divide-se novamente em dois trechos:
de 0 a 20000\\ \mathrm{s}: usar v(t)=10+10^{-4}t e i(t)=30-5\times10^{-4}t, então p(t)=v(t)i(t) é um polinômio;
de 20000 a 40000\\ \mathrm{s}: v=12\\ \mathrm{V}, i=20\\ \mathrm{A}, logo p=12\cdot20=240\\ \mathrm{W} constante.