Uma partícula carregada de carga
e massa
é lançada no instante
, com velocidade
, na direção do eixo dos
, numa região onde existem um campo elétrico e um campo magnético uniformes, ambos com a direção do eixo dos
. Obter a expressão da velocidade
da partícula no instante
e caraterizar o seu movimento. Que tipo de movimento teria a partícula se a sua velocidade inicial
fosse segundo o eixo dos
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados:
- carga:
, - massa:
, - campos uniformes:
e ambos na direção do eixo . Vou escrever isso como e . - lançamento no instante
com velocidade inicial direcionada segundo o eixo . Vou tomar isso como .
- carga:
- O que é pedido:
- Obter a expressão da velocidade
da partícula no instante . - Caracterizar o movimento (que tipo de trajetória/ movimento é).
- Determinar que tipo de movimento ocorreria se a velocidade inicial
fosse segundo o eixo .
- Obter a expressão da velocidade
Passo 2
Escrevendo a equação fundamental (Lei de Lorentz) e o significado de cada termo.
- A força sobre uma partícula carregada em campos elétrico e magnético é dada por
Aqui:
-
é a velocidade instantânea da partícula, -
é o campo elétrico, -
é o campo magnético, -
é a carga. -
Pela segunda lei de Newton temos
(onde ). Logo a equação de movimento é
Vou usar essa equação para obter as componentes da velocidade.
Passo 3
Calcular explicitamente as componentes do produto vetorial
quando ambos
e
estão ao longo de
.
- Escrevemos a velocidade genérica como
- Com
o produto vetorial é
(Explicação curta do cálculo: componente
do produto é
; componente
é
; componente
é
.)
- Substituindo
e o produto vetorial na equação de movimento obtemos as três equações escalares:
Passo 4
Resolver a componente
(a mais simples) e interpretar fisicamente.
- A equação para
é uma equação diferencial ordinária simples de primeira ordem com lado direito constante:
- Integrando no tempo:
- Pelo dado inicial
temos , então
- Interpretação física: o campo elétrico paralelo a
acelera a partícula ao longo do eixo com aceleração constante .
Passo 5
Resolver o sistema acoplado nas componentes
e
. Apresento o método passo a passo.
- Temos
- Diferenciando a primeira equação em relação ao tempo:
- Substituindo
a partir da segunda equação obtemos
- Dividindo por
obtemos a equação harmônica simples
onde definimos a frequência de ciclotron (ou frequência de giro)
(Comentário didático:
tem dimensões de rad/s e representa a frequência com que a componente transversal da velocidade gira devido ao campo magnético.)
Passo 6
Resolver a equação harmônica com as condições iniciais.
- A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
- Usamos as condições iniciais:
e . Da relação entre e ,
avaliando em
dá
. Assim
.
- Calculando
. Em isso vale . Como segue . - Portanto
e , então
- Para
usamos , assim
Passo 7
Reunir todas as componentes e escrever a expressão vetorial de
.
- Juntando
, e :
com
.
- Comentário intuitivo: as componentes
descrevem um movimento circular uniforme no plano transversal ( ) com velocidade escalar e frequência angular . A componente cresce linearmente no tempo por causa da aceleração elétrica.
Passo 8
Caracterização física completa do movimento (o que veríamos se acompanhássemos a partícula).
- Movimento no plano
: como e , a componente transversal à direção do campo tem módulo constante
isto é, a partícula descreve um movimento circular uniforme no plano
com velocidade tangencial
e raio do círculo (raio de giro) dado por
- Movimento ao longo do eixo
: como , a componente longitudinal tem aceleração constante . Integrando para obter a posição daria movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA): se partir de . - Trajetória total: combinação do movimento circular no plano
com o deslocamento acelerado ao longo de produz uma hélice (espiral circular), no entanto com pitch (passo da hélice) que cresce porque cresce linearmente no tempo — ou seja, não é uma hélice com passo constante, é uma espiral helicoidal com separação entre voltas crescente devido à aceleração em .
Passo 9
Responder a pergunta especial: se a velocidade inicial
fosse segundo o eixo
.
- Se
, então a componente transversal inicial é zero e permanece zero porque o termo com vale zero. Assim não há força magnética (cruzada) atuando. - A equação para
permanece , com condição inicial . Então
- Portanto o movimento é unidimensional ao longo do eixo
, retilíneo com aceleração constante . Se seria simplesmente movimento retilíneo uniforme com velocidade .
Resposta
Trajetória: movimento circular uniforme no plano
de raio
com frequência angular
, combinado com aceleração constante ao longo de
(
), resultando numa espiral helicoidal cujo passo aumenta com o tempo.
Se
fosse segundo
: movimento unidimensional ao longo de
com
(reta com aceleração constante; se
é movimento retilíneo uniforme).