Uma partícula carregada de carga q e massa m é lançada no instante t=0, com velocidade \vec{v}_{0}, na direção do eixo dos x x^{\prime}, numa região onde existem um campo elétrico e um campo magnético uniformes, ambos com a direção do eixo dos z z^{\prime}. Obter a expressão da velocidade \vec{v} da partícula no instante t e caraterizar o seu movimento. Que tipo de movimento teria a partícula se a sua velocidade inicial \vec{v}_{0} fosse segundo o eixo dos z z^{\prime} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados:
    • carga: \;q\;,
    • massa: \;m\;,
    • campos uniformes: \vec{E} e \vec{B} ambos na direção do eixo zz'. Vou escrever isso como \vec{E}=E\,\hat{z} e \vec{B}=B\,\hat{z}.
    • lançamento no instante t=0 com velocidade inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_0 direcionada segundo o eixo xx'. Vou tomar isso como \vec{v}(0)=v_0\,\hat{x}.
  • O que é pedido:
    1. Obter a expressão da velocidade \vec{v}(t) da partícula no instante t.
    2. Caracterizar o movimento (que tipo de trajetória/ movimento é).
    3. Determinar que tipo de movimento ocorreria se a velocidade inicial \vec{v}_0 fosse segundo o eixo zz'.

Passo 2

Escrevendo a equação fundamental (Lei de Lorentz) e o significado de cada termo.
  • A força sobre uma partícula carregada em campos elétrico e magnético é dada por
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
Aqui:
  • \vec{v} é a velocidade instantânea da partícula,
  • \vec{E} é o campo elétrico,
  • \vec{B} é o campo magnético,
  • q é a carga.
  • Pela segunda lei de Newton temos \vec{F}=m\,\dot{\vec{v}} (onde \dot{\vec{v}}=d\vec{v}/dt). Logo a equação de movimento é
m\,\dot{\vec{v}} = q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
Vou usar essa equação para obter as componentes da velocidade.

Passo 3

Calcular explicitamente as componentes do produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} quando ambos \vec{E} e \vec{B} estão ao longo de \hat{z}.
  • Escrevemos a velocidade genérica como
\vec{v}(t)=v_x(t)\,\hat{x}+v_y(t)\,\hat{y}+v_z(t)\,\hat{z}.
  • Com \vec{B}=B\,\hat{z} o produto vetorial é
\vec{v}\times\vec{B} = \bigl(v_y B\bigr)\,\hat{x} + \bigl(-v_x B\bigr)\,\hat{y} + 0\;\hat{z}.
(Explicação curta do cálculo: componente x do produto é v_y B_z-v_z B_y=v_y B; componente y é v_z B_x-v_x B_z=-v_x B; componente z é v_x B_y-v_y B_x=0.)
  • Substituindo \vec{E}=E\,\hat{z} e o produto vetorial na equação de movimento obtemos as três equações escalares:
m\,\dot{v}_x = q B v_y,
m\,\dot{v}_y = - q B v_x,
m\,\dot{v}_z = q E.

Passo 4

Resolver a componente z (a mais simples) e interpretar fisicamente.
  • A equação para v_z é uma equação diferencial ordinária simples de primeira ordem com lado direito constante:
m\,\dot{v}_z = q E \quad\Rightarrow\quad \dot{v}_z = \frac{qE}{m}.
  • Integrando no tempo:
v_z(t) = v_z(0) + \frac{qE}{m}\,t.
  • Pelo dado inicial \vec{v}(0)=v_0\,\hat{x} temos v_z(0)=0, então
v_z(t) = \frac{qE}{m}\,t.
  • Interpretação física: o campo elétrico paralelo a \hat{z} acelera a partícula ao longo do eixo z com aceleração constante a_z=\dfrac{qE}{m}.

Passo 5

Resolver o sistema acoplado nas componentes x e y. Apresento o método passo a passo.
  • Temos
m\,\dot{v}_x = qB\,v_y,\qquad m\,\dot{v}_y = -qB\,v_x.
  • Diferenciando a primeira equação em relação ao tempo:
m\,\ddot{v}_x = qB\,\dot{v}_y.
  • Substituindo \dot{v}_y a partir da segunda equação \dot{v}_y = -\dfrac{qB}{m}v_x obtemos
m\,\ddot{v}_x = qB\left(-\frac{qB}{m}v_x\right) = -\frac{(qB)^2}{m}\,v_x.
  • Dividindo por m obtemos a equação harmônica simples
\ddot{v}_x + \omega_c^2 v_x = 0,
onde definimos a frequência de ciclotron (ou frequência de giro)
\omega_c \equiv \frac{qB}{m}.
(Comentário didático: \omega_c tem dimensões de rad/s e representa a frequência com que a componente transversal da velocidade gira devido ao campo magnético.)

Passo 6

Resolver a equação harmônica com as condições iniciais.
  • A solução geral da equação \ddot{v}_x + \omega_c^2 v_x=0 é
v_x(t) = A\cos(\omega_c t) + B\sin(\omega_c t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Usamos as condições iniciais: v_x(0)=v_0 e v_y(0)=0. Da relação entre \dot{v}_x e v_y,
\dot{v}_x = \omega_c v_y,
avaliando em t=0 \dot{v}_x(0)=\omega_c v_y(0)=0. Assim \dot{v}_x(0)=0.
  • Calculando \dot{v}_x(t) = -A\omega_c\sin(\omega_c t) + B\omega_c\cos(\omega_c t). Em t=0 isso vale \dot{v}_x(0)=B\omega_c. Como \dot{v}_x(0)=0 segue B=0.
  • Portanto A=v_0 e B=0, então
v_x(t)=v_0\cos(\omega_c t).
  • Para v_y usamos \dot{v}_x=\omega_c v_y, assim
v_y(t) = \frac{1}{\omega_c}\dot{v}_x(t) = \frac{1}{\omega_c}\bigl(-v_0\omega_c\sin(\omega_c t)\bigr) = -v_0\sin(\omega_c t).

Passo 7

Reunir todas as componentes e escrever a expressão vetorial de \vec{v}(t).
  • Juntando v_x, v_y e v_z:
\vec{v}(t)=v_0\cos(\omega_c t)\,\hat{x} - v_0\sin(\omega_c t)\,\hat{y} + \frac{qE}{m}\,t\;\hat{z},
com \displaystyle \omega_c=\frac{qB}{m}.
  • Comentário intuitivo: as componentes x,y descrevem um movimento circular uniforme no plano transversal ( xy) com velocidade escalar v_\perp = v_0 e frequência angular \omega_c. A componente z cresce linearmente no tempo por causa da aceleração elétrica.

Passo 8

Caracterização física completa do movimento (o que veríamos se acompanhássemos a partícula).
  • Movimento no plano xy: como v_x(t)=v_0\cos(\omega_c t) e v_y(t)=-v_0\sin(\omega_c t), a componente transversal à direção do campo tem módulo constante
\sqrt{v_x^2+v_y^2} = v_0,
isto é, a partícula descreve um movimento circular uniforme no plano xy com velocidade tangencial v_0 e raio do círculo (raio de giro) dado por
r = \frac{v_\perp}{\omega_c} = \frac{v_0}{\omega_c} = \frac{m v_0}{qB}.
  • Movimento ao longo do eixo z: como v_z(t)=\dfrac{qE}{m}t, a componente longitudinal tem aceleração constante qE/m. Integrando para obter a posição z(t) daria movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA): z(t)=\dfrac{qE}{2m}t^2 se partir de z(0)=0.
  • Trajetória total: combinação do movimento circular no plano xy com o deslocamento acelerado ao longo de z produz uma hélice (espiral circular), no entanto com pitch (passo da hélice) que cresce porque v_z cresce linearmente no tempo — ou seja, não é uma hélice com passo constante, é uma espiral helicoidal com separação entre voltas crescente devido à aceleração em z.

Passo 9

Responder a pergunta especial: se a velocidade inicial \vec{v}_0 fosse segundo o eixo zz'.
  • Se \vec{v}(0)=v_0\,\hat{z}, então a componente transversal inicial é zero e permanece zero porque o termo \vec{v}\times\vec{B} com \vec{v}\parallel\vec{B} vale zero. Assim não há força magnética (cruzada) atuando.
  • A equação para v_z permanece m\dot{v}_z=qE, com condição inicial v_z(0)=v_0. Então
v_z(t)=v_0+\frac{qE}{m}t.
  • Portanto o movimento é unidimensional ao longo do eixo z, retilíneo com aceleração constante qE/m. Se E=0 seria simplesmente movimento retilíneo uniforme com velocidade v_0.

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=v_0\cos\!\bigl(\tfrac{qB}{m}t\bigr)\,\hat{x}-v_0\sin\!\bigl(\tfrac{qB}{m}t\bigr)\,\hat{y}+\frac{qE}{m}\,t\;\hat{z}.
Trajetória: movimento circular uniforme no plano xy de raio \dfrac{m v_0}{qB} com frequência angular \omega_c=\dfrac{qB}{m}, combinado com aceleração constante ao longo de z ( v_z=\tfrac{qE}{m}t), resultando numa espiral helicoidal cujo passo aumenta com o tempo.
Se \vec{v}_0 fosse segundo zz': movimento unidimensional ao longo de z com \displaystyle v_z(t)=v_0+\frac{qE}{m}t (reta com aceleração constante; se E=0 é movimento retilíneo uniforme).

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