Um campo de vetores é definido do seguinte modo:
\begin{gathered} \vec{B}=\frac{-\mu_{0} J_{0} a}{2} \hat{e}_{y} \quad \text { para } x \leq-a / 2 \\\ \vec{B}=\mu_{0} J_{0} x \hat{e}_{y} \quad \text { para }-a / 2 \leq x \leq a / 2 \\\ \vec{B}=\frac{\mu_{0} J_{0} a}{2} \hat{e}_{y} \quad \text { para } x \geq a / 2 \end{gathered}
sendo \mu_{0} a permeabilidade magnética do vazio e J_{0} uma constante.
a) Verifique que este campo de vetores pode representar um campo magnetostático e determine a distribuição de correntes que o cria.
b) Da saída de um seletor de velocidades, localizada no ponto P(3 a / 2 ; 0 ; 0), são ejetadas partículas carregadas com velocidade de grandeza v_{0}, segundo uma direção que faz um ângulo de 60^{\circ} com o campo \vec{B}, \vec{v}=v_{0} \cos 60^{\circ} \hat{e}_{y}+v_{0} \sin 60^{\circ} \hat{e}_{z}. Sendo m a massa destas partículas e q o valor da sua carga, calcule o valor de J_{0} para que as partículas passem tangencialmente ao plano x=a / 2. Indique qual é a trajetória seguida pelas partículas e determine a distância percorrida ao longo do eixo dos y y^{\prime} durante cada “ciclo” do movimento.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético em função da coordenada x:
\begin{gathered} \vec{B}=\frac{-\mu_{0} J_{0} a}{2}\,\hat{e}_{y}\quad\text{para }x\le -a/2,\\[4pt] \vec{B}=\mu_{0} J_{0} x\,\hat{e}_{y}\quad\text{para }-a/2\le x\le a/2,\\[4pt] \vec{B}=\frac{\mu_{0} J_{0} a}{2}\,\hat{e}_{y}\quad\text{para }x\ge a/2, \end{gathered}
onde \mu_{0} e J_{0} são constantes. Além disso, há uma fonte de partículas no ponto P(3a/2,0,0) com velocidade
\vec{v}=v_{0}\cos 60^\circ\,\hat{e}_{y}+v_{0}\sin 60^\circ\,\hat{e}_{z}=\frac{v_{0}}{2}\,\hat{e}_{y}+\frac{\sqrt{3}\,v_{0}}{2}\,\hat{e}_{z},
massa m e carga q.
As perguntas são:
a) Verificar que o campo pode ser magnetostático e determinar a distribuição de correntes que o produz.
b) Encontrar o valor de J_{0} para que as partículas passem tangencialmente ao plano x=a/2; indicar qual é a trajetória das partículas; determinar a distância percorrida ao longo do eixo yy' durante cada ciclo do movimento.]

Passo 2

Primeiro verificamos a condição de divergência do campo magnético em magnetostática:
a propriedade fundamental é que o campo magnético satisfaz
\nabla\cdot\vec{B}=0.
No nosso caso \vec{B}=B_{y}(x)\,\hat{e}_{y}, isto é, só tem componente y que depende somente de x. Portanto
\nabla\cdot\vec{B}=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0+\frac{\partial B_{y}(x)}{\partial y}+0=0,
porque B_{y} não depende de y. Concluímos que \nabla\cdot\vec{B}=0 em todas as regiões, condição necessária para ser um campo magnetostático é satisfeita.

Passo 3

Agora usamos a outra equação de Maxwell (magnetostática), que relaciona o rotacional de \vec{B}\) com a densidade de corrente \(\vec{J}\): \[\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J}.
Calculemos \nabla\times\vec{B}. Em coordenadas cartesianas, para \vec{B}=B_{y}(x)\,\hat{e}_{y},
\nabla\times\vec{B}=\left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}\right)\hat{e}_{x}+\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x}\right)\hat{e}_{y}+\left(\frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}\right)\hat{e}_{z}.
Como B_{x}=B_{z}=0 e B_{y}=B_{y}(x), isso reduz-se a
\nabla\times\vec{B}=\frac{dB_{y}}{dx}\,\hat{e}_{z}.
Agora avaliamos \dfrac{dB_{y}}{dx} em cada região:
  • Para x\le -a/2: B_{y}=\dfrac{-\mu_{0}J_{0}a}{2} é constante, logo \dfrac{dB_{y}}{dx}=0.
  • Para -a/2\le x\le a/2: B_{y}=\mu_{0}J_{0}x, logo \dfrac{dB_{y}}{dx}=\mu_{0}J_{0}.
  • Para x\ge a/2: B_{y}=\dfrac{\mu_{0}J_{0}a}{2} é constante, logo \dfrac{dB_{y}}{dx}=0.
Portanto, usando \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}, obtemos a densidade de corrente
\vec{J}=\begin{cases} \vec{0}, & x\le -a/2,\\[4pt] J_{0}\,\hat{e}_{z}, & -a/2<x<a/2,\\[4pt] \vec{0}, & x\ge a/2. \end{cases}
Isto é, existe uma densidade de corrente volumétrica uniforme \vec{J}=J_{0}\,\hat{e}_{z}\] somente na faixa \(-a/2<x<a/2, e nenhuma corrente volumétrica fora dessa faixa.]

Passo 4

Verificamos também a continuidade de \vec{B} nas superfícies x=\pm a/2. Calculando os valores da esquerda e da direita:
\text{em }x\to (a/2)^-:\quad B_{y}=\mu_{0}J_{0}\frac{a}{2}, \qquad \text{em }x\to (a/2)^+:\quad B_{y}=\mu_{0}J_{0}\frac{a}{2},
são iguais (e o mesmo em x=-a/2). A condição de contorno para uma superfície de corrente diz
\hat{n}\times(\vec{B}_{2}-\vec{B}_{1})=\mu_{0}\,\vec{K}_{s},
onde \vec{K}_{s} é densidade de corrente superficial. Como \vec{B} é contínuo, \vec{K}_{s}=\vec{0}. Assim não há corrente superficial concentrada nas superfícies, apenas a corrente volumétrica uniforme dentro da faixa -a/2<x<a/2.
Concluímos a parte (a): o campo é compatível com magnetostática e é produzido por uma corrente volumétrica uniforme \vec{J}=J_{0}\,\hat{e}_{z} limitada ao slab -a/2<x<a/2, sem correntes de superfície.

Passo 5

Agora a parte (b): análise da dinâmica das partículas carregadas. A força magnética (força de Lorentz, desprezando campos elétricos) é
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
No ponto de ejeção P estamos em x_{0}=3a/2, onde o campo magnético é constante (região externa):
\vec{B}_{\text{fora}}=B\,\hat{e}_{y},\quad B=\frac{\mu_{0}J_{0}a}{2}.
A velocidade inicial tem componentes
v_{y}=\frac{v_{0}}{2},\qquad v_{z}=\frac{\sqrt{3}\,v_{0}}{2},\qquad v_{x}=0.
A componente da velocidade perpendicular a \vec{B} é a parte no plano xz; aqui v_{\perp}=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{z}^{2}}=v_{z}=\dfrac{\sqrt{3}\,v_{0}}{2}.
Para um campo magnético uniforme, a força magnética fornece a força centrípeta para o movimento circular da componente perpendicular, e a componente paralela a \vec{B} permanece constante. Assim a partícula descreve um movimento helicoidal (espiral) cujas projeções:
  • movimento circular no plano x\!-\!z com raio de Larmor (raio ciclotrônico)
r=\frac{m v_{\perp}}{|q| B},
onde |q| é o módulo da carga (usamos |q| para o raio porque o sinal de q apenas inverte o sentido de rotação);
  • movimento retilíneo uniforme ao longo do eixo \hat{e}_{y} com velocidade v_{y}=v_{0}/2.

Passo 6

Escrevemos explicitamente r substituindo v_{\perp} e B:
r=\frac{m\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}\,v_{0}}{2}\right)}{|q|\cdot\left(\dfrac{\mu_{0}J_{0}a}{2}\right)} =\frac{m v_{0}\sqrt{3}}{|q|\,\mu_{0}J_{0}a}.
Queremos que a partícula passe tangencialmente ao plano x=a/2. Geometricamente, na região de campo uniforme a trajectória circular (projeção em x\!-\!z) tem um centro em x_{c} e raio r. No instante inicial t=0 a partícula está em x_{0}=3a/2 com velocidade puramente na direção +\hat{e}_{z}. Nesse instante a velocidade é perpendicular ao raio, o que implica que o vetor do centro até a partícula aponta na direção +\hat{e}_{x}. Logo
x_{0}=x_{c}+r \quad\Rightarrow\quad x_{c}=x_{0}-r.
O ponto de menor x alcançado pela órbita circular é x_{\min}=x_{c}-r=x_{0}-2r. Para passar tangencialmente ao plano x=a/2 precisamos que
x_{\min}=a/2\quad\Rightarrow\quad x_{0}-2r=\frac{a}{2}.
Substituindo x_{0}=3a/2 obtemos
\frac{3a}{2}-2r=\frac{a}{2}\quad\Rightarrow\quad 2r=a\quad\Rightarrow\quad r=\frac{a}{2}.

Passo 7

Igualamos a expressão do raio ao valor pedido r=a/2:
\frac{m v_{0}\sqrt{3}}{|q|\,\mu_{0}J_{0}a}=\frac{a}{2}.
Despejando J_{0} obtemos
J_{0}=\frac{2\,m v_{0}\sqrt{3}}{|q|\,\mu_{0}a^{2}}.
Comentário sobre o sinal: para que a força inicial aponte para -\hat{e}_{x} (ou seja, para dentro, em direção à superfície x=a/2) é necessário que qB>0. Como B=\dfrac{\mu_{0}J_{0}a}{2}, isso exige qJ_{0}>0. A fórmula acima dá o valor positivo de J_{0} em módulo; o sinal de J_{0} deve ser tal que qJ_{0}>0 (por exemplo, se q>0 então J_{0}>0).

Passo 8

Agora determinamos a forma completa da trajetória e a distância percorrida ao longo de y por ciclo.
Período do movimento circular (ciclo) na componente perpendicular é
T=\frac{2\pi m}{|q| B}.
Usando B=\dfrac{\mu_{0}J_{0}a}{2} e a expressão encontrada para J_{0} podemos simplificar a expressão da distância percorrida ao longo de y por ciclo. Primeiro, a velocidade ao longo de y é v_{y}=v_{0}/2. Então o deslocamento ao longo de y por ciclo é
\Delta y = v_{y}T=\frac{v_{0}}{2}\cdot\frac{2\pi m}{|q| B}=\frac{\pi m v_{0}}{|q| B}.
Substituindo B em termos de r (ou usando a expressão que força r=a/2) é mais simples: a relação r=\dfrac{m v_{\perp}}{|q| B} com r=a/2 e v_{\perp}=\dfrac{\sqrt{3}\,v_{0}}{2}
B=\frac{m v_{\perp}}{|q| r}=\frac{m\cdot(\sqrt{3}\,v_{0}/2)}{|q|\,(a/2)}=\frac{m v_{0}\sqrt{3}}{|q| a}.
Substituindo este B em \Delta y:
\Delta y=\frac{\pi m v_{0}}{|q|}\cdot\frac{|q| a}{m v_{0}\sqrt{3}}=\frac{\pi a}{\sqrt{3}}.
Portanto o deslocamento ao longo de y por ciclo é independente de m,q,v_{0} e igual a \dfrac{\pi a}{\sqrt{3}}.
Quanto à geometria completa da trajetória: a partícula descreve uma hélice em torno da direção \hat{e}_{y} (linhas paralelas ao eixo y), com raio de órbita r=a/2. O centro da circunferência (projeção no plano x\!-\!z) está em
x_{c}=x_{0}-r=\frac{3a}{2}-\frac{a}{2}=a,\qquad z_{c}=0,
ou seja, o eixo da hélice é a reta paralela a \hat{e}_{y} que passa por (x,z)=(a,0). A partícula, portanto, descreve círculos de raio a/2 no plano x\!-\!z enquanto avança uniformemente em y — uma hélice cuja subida por volta é \Delta y=\pi a/\sqrt{3}.

Resposta

a) \displaystyle \vec{J}=\begin{cases}\vec{0},&x\le -a/2,\\[4pt] J_{0}\,\hat{e}_{z},&-a/2<x<a/2,\\[4pt]\vec{0},&x\ge a/2,\end{cases} sem corrente superficial (campo contínuo em x=\pm a/2).\n
b) \displaystyle J_{0}=\frac{2\,m v_{0}\sqrt{3}}{|q|\,\mu_{0}a^{2}} (o sinal de J_{0} deve satisfazer qJ_{0}>0);\n
Trajetória: hélice de eixo paralelo a \hat{e}_{y}, raio r=a/2, centro da proj. no plano x\!-\!z em (x_{c},z_{c})=(a,0);\n
Deslocamento ao longo de y por ciclo: \displaystyle \Delta y=\frac{\pi a}{\sqrt{3}}.]

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