Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por
. Onde
e
são constantes positivas e
é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Esboce um gráfico de
vs
(para
), indicando pontos de equilíbrio.
Esboce um gráfico de
Passo 1
Beleza, o exercício diz que uma partícula sente uma força
onde
Conteúdo: energia potencial
Vamos precisar:
1) integrar
2) achar pontos onde
3) ver estabilidade (segundo derivada de
4) esboçar o gráfico de
Passo 2
Calcular
a partir de
Escrevendo
integramos termo a termo:
Logo
Escolhemos
para ter
.
Passo 3
Equilíbrios são onde
. Escrevendo
o fator não trivial é
Resolvendo
dá
ou
.
Então
Então
são pontos de equilíbrio.
Passo 4
Classificação por sinal de
. Como
, basta ver
:
Em
:
Em
:
Passo 5
Esboço de
vs
(
):
- Para
, domina e . - Cai até um mínimo em
. - Sobe até um máximo em
. - Depois decresce de leve e tende a 0 quando
.
Resposta
O gráfico de
é assim:
•
em
.
• Mínimo local em (equilíbrio estável).
• Máximo local em (equilíbrio instável).
• quando
.
• Mínimo local em
• Máximo local em
•