Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por F(x)=F0((ax)^2-3(ax)^3+2(ax)^4). Onde F0 e a são constantes positivas e x é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Esboce um gráfico de U(x) vs x (para x>0 ), indicando pontos de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma partícula sente uma força
F(x)=F0l(l(tfracaxr)^2-3l(tfracaxr)^3+2l(tfracaxr)^4r), x>0
onde F(x) = -dUdx e são constantes positivas.
Conteúdo: energia potencial associada a essa força, usando

Vamos precisar:
1) integrar para achar ,
2) achar pontos onde (equilíbrios),
3) ver estabilidade (segundo derivada de ),
4) esboçar o gráfico de .

Passo 2

Calcular U(x) = -integral F(x),dx + C a partir de
F(x)F0 =a^2x^2-3a^3x^3+2a^4x^4,
Escrevendo
integral x^-2dx=-1x, integral x^-3dx=-12x^2, integral x^-4dx=-13x^3
integramos termo a termo:
U(x)=-F0l[a^2l(-1xr) -3a^3l(-12x^2r) +2a^4l(-13x^3r)r]+C
Logo
U(x)=F0l(a^2x-3a^32x^2+2a^43x^3r)+C
Escolhemos para ter .

Passo 3

Equilíbrios são onde l(tfracaxr)^2l[1-3tfracax+2l(tfracaxr)^2r]=0 . Escrevendo
1-3y+2y^2=0, y=tfracax
o fator não trivial é
x=a e x=2a
Resolvendo ou .
Então
são pontos de equilíbrio.

Passo 4

Classificação por sinal de F'(x)F0 =-2a^2x^3+9a^3x^4-8a^4x^5 . Como F'(a)/F0 =-2+9-8a=-1a<0 ;Longrightarrow;U''(a)>0 ;Rightarrow;mínimo (estável) , basta ver F'(2a)/F0 =l(-tfrac28+tfrac916-tfrac832r)1a =116a>0 ;Longrightarrow;U''(2a)<0 ;Rightarrow;máximo (instável) :
Em :
íá
Em :
áá

Passo 5

Esboço de vs ( ):
  • Para , domina e .
  • Cai até um mínimo em .
  • Sobe até um máximo em .
  • Depois decresce de leve e tende a 0 quando .

Resposta

O gráfico de é assim:
em .
• Mínimo local em (equilíbrio estável).
• Máximo local em (equilíbrio instável).
quando .

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