Uma partícula carregada gira em movimento circular uniforme de raio R no plano \mathcal{O} x y, com módulo da velocidade angular \omega. Considere \omega R \ll c.
(a) Sem fazer a aproximação de dipolo magnético, obtenha uma expressão para o vetor campo magnético gerado pelo movimento desta partícula, em um instante t arbitrário, em um ponto P do eixo \mathcal{O} z a uma distância z da origem.
(b) Calcule a média do campo magnético no ponto P ao longo de um período do movimento da partícula T=2 \pi / \omega.
(c) Suponha que o movimento desta partícula pode ser considerado uma corrente estacionária.
(i) Qual o valor da corrente elétrica gerada pelo movimento desta partícula?
(ii) Utilize apropriadamente a lei de Biot-Savart, para encontrar o campo magnético gerado pelo movimento desta carga no ponto P .
(iii) Compare sua resposta no item (b) com seu resultado no item (c.ii) e interprete fisicamente.
(d) Calcule o momento de dipolo magnético associado ao movimento dessa partícula e compare sua resposta no item (c) com o campo magnético no ponto P gerado por um dipolo magnético \vec{m} na origem e alinhado com o eixo \mathcal{O} z (que você calculou no item 2e).

Passo 1

O enunciado trata de uma carga q que gira em movimento circular uniforme de raio R no plano xy com velocidade angular \omega (tal que \omega R\ll c). Precisamos (a) achar o campo magnético instantâneo num ponto P sobre o eixo z a uma distância z da origem sem aproximar por dipolo, (b) fazer a média temporal desse campo num período T=2\pi/\omega, (c) tratar o giro como uma corrente estacionária I e usar a lei de Biot–Savart para obter o campo em P, comparando com (b), e (d) calcular o momento de dipolo magnético \vec m associado ao movimento e comparar o campo de dipolo com o resultado de (c).

Passo 2

Para cada instante t a posição da carga é
\vec r_s(t)=R\cos(\omega t)\,\hat\imath+R\sin(\omega t)\,\hat\jmath,
e a velocidade
\vec v(t)=-R\omega\sin(\omega t)\,\hat\imath+R\omega\cos(\omega t)\,\hat\jmath.
No ponto P=(0,0,z) e em regime não-relativístico, o campo magnético retido nos termos de ordem v/c vem de
\vec B(t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,q\;\frac{\vec v(t)\times[\vec r_P-\vec r_s(t)]}{|\vec r_P-\vec r_s(t)|^3}.
Como \vec r_P-\vec r_s=-R\cos\varphi\,\hat\imath -R\sin\varphi\,\hat\jmath+z\,\hat k com \varphi=\omega t, calcula-se
\vec v\times(\vec r_P-\vec r_s) =R\,z\,\omega\bigl[\cos\varphi\,\hat\imath+\sin\varphi\,\hat\jmath\bigr] +R^2\omega\,\hat k.
Logo
\boxed{ \vec B(t) =\frac{\mu_0\,q\,\omega}{4\pi\,(R^2+z^2)^{3/2}} \Bigl[ R\,z\bigl(\cos(\omega t)\,\hat\imath+\sin(\omega t)\,\hat\jmath\bigr) +R^2\,\hat k \Bigr]. }

Passo 3

Para achar a média em um período T, basta notar que
\langle\cos(\omega t)\rangle=0 e \langle\sin(\omega t)\rangle=0. Assim o campo médio é só a parte axial:
\boxed{ \langle\vec B\rangle =\frac{\mu_0\,q\,\omega}{4\pi}\;\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\;\hat k. }

Passo 4

(c.i) Se a carga gira com período T=2\pi/\omega, isso equivale a uma corrente estacionária
\boxed{I=\frac{q}{T}=\frac{q\,\omega}{2\pi}.}

Passo 5

(c.ii) Aplicando a lei de Biot–Savart a um circuito circular de raio R visto do eixo, sabe-se que
\vec B_{\rm loop}(z) =\frac{\mu_0\,I\,R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}\;\hat k.
Substituindo I=q\omega/(2\pi)
\boxed{ \vec B_{\rm loop}(z) =\frac{\mu_0\,q\,\omega}{4\pi}\;\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\;\hat k. }

Passo 6

(c.iii) Comparando com o resultado de (b):
\langle\vec B\rangle e \vec B_{\rm loop} são idênticos.
Física: a média temporal do campo de uma carga girando é exatamente o campo magnético de uma corrente estacionária I=q/T.

Passo 7

(d) O momento magnético de um loop de corrente I e área \pi R^2 é
\boxed{ \vec m=I\,\pi R^2\,\hat k =\frac{q\,\omega}{2\pi}\,\pi R^2\,\hat k =\frac{q\,\omega\,R^2}{2}\,\hat k. }
O campo de um dipolo \vec m na origem, no eixo z, vale
\boxed{ \vec B_{\rm dip}(z) =\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2\,\vec m}{z^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2\,(q\,\omega\,R^2/2)}{z^3}\,\hat k =\frac{\mu_0\,q\,\omega\,R^2}{4\pi\,z^3}\,\hat k. }
Para z\gg R, (R^2+z^2)^{3/2}\approx z^3, e o resultado de (c.ii) tende a
\mu_0\,q\,\omega\,R^2/(4\pi\,z^3)\,\hat k, que coincide com \vec B_{\rm dip}.

Resposta

(a)
\vec B(t) =\frac{\mu_0\,q\,\omega}{4\pi\,(R^2+z^2)^{3/2}} \Bigl[ R\,z\bigl(\cos(\omega t)\,\hat\imath+\sin(\omega t)\,\hat\jmath\bigr) +R^2\,\hat k \Bigr].
(b)
\langle\vec B\rangle =\frac{\mu_0\,q\,\omega}{4\pi}\;\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\;\hat k.
(c.i) I=q\omega/(2\pi).
(c.ii)
\vec B_{\rm loop}(z)=\mu_0\,q\,\omega\,R^2/[4\pi\,(R^2+z^2)^{3/2}]\;\hat k.
(c.iii) Esse valor coincide com \langle\vec B\rangle; fisicamente, a carga girando é equivalente a uma corrente estacionária.
(d)
\vec m=(q\,\omega\,R^2/2)\,\hat k e
\vec B_{\rm dip}(z)=\mu_0\,q\,\omega\,R^2/(4\pi\,z^3)\,\hat k, que é o limite de \vec B_{\rm loop} para z\gg R.

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