Um campo magnético uniforme é perpendicular ao plano de uma espira circular com 10 cm de raio, formada por um fio com 4,5 \mathrm{~mm} de diâmetro e uma resistividade de 2,39 \times 10-8 \Omega . \mathrm{m}. Qual deve ser a taxa de variação de para que uma corrente de 30 A seja induzida na espira?

Passo 1

O enunciado descreve uma espira circular de raio r = 0,10\,\mathrm{m} feita de fio de diâmetro d = 0,0045\,\mathrm{m} e resistividade \rho = 2,39\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}. Um campo magnético B(t) é uniforme e perpendicular ao plano da espira, e queremos a taxa \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} necessária para induzir uma corrente de I = 30\,\mathrm{A}. Para resolver, vamos usar a Lei de Faraday e a fórmula da resistência R = \rho\,L/A_c.

Passo 2

O comprimento da espira é
L = 2\pi r = 2\pi(0,10\,\mathrm{m}) = 0,20\pi\,\mathrm{m},
e a área da seção transversal do fio é
A_c = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 = \pi(0,00225\,\mathrm{m})^2 \approx 1,59\times10^{-5}\,\mathrm{m}^2.
Logo, a resistência da espira vale
R = \frac{\rho\,L}{A_c} = \frac{2,39\times10^{-8}\times0,20\pi}{1,59\times10^{-5}} \approx 9,44\times10^{-4}\,\Omega.

Passo 3

Pela Lei de Faraday, o módulo da fem induzida é
\lvert\varepsilon\rvert = \Bigl\lvert\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\Bigr\rvert = A\Bigl\lvert\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\Bigr\rvert,
onde A é a área da espira,
A = \pi r^2 = \pi(0,10\,\mathrm{m})^2 = 0,01\pi \approx 3,14\times10^{-2}\,\mathrm{m}^2.
Como I = \lvert\varepsilon\rvert/R, temos
\Bigl\lvert\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\Bigr\rvert = \frac{I\,R}{A}.

Passo 4

Substituindo I = 30\,\mathrm{A}, R \approx 9,44\times10^{-4}\,\Omega e A \approx 3,14\times10^{-2}\,\mathrm{m}^2, vem
\Bigl\lvert\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\Bigr\rvert = \frac{30\times9,44\times10^{-4}}{3,14\times10^{-2}} \approx 0,90\;\mathrm{T/s}.

Resposta

A taxa de variação requerida é aproximadamente 0,90\,\mathrm{T/s}.

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