(Importante!) Neste problema, vamos explorar as simetrias existentes no problema do fio infinito percorrido por uma corrente estacionária i. Considere que adotamos um sistema de eixos de tal modo que o fio se encontra sobre um eixo \mathcal{O Z} e a corrente flui no sentido positivo do eixo \mathcal{O Z}. Adote coordenadas cilídricas.
(a) Escreva a expressão genérica para o campo magnético \vec{B} gerado pelo fio em qualquer ponto do espaço. Quais são as simetrias que este sistema exibe e o que elas nos permitem afirmar sobre as dependências das componentes do campo com as coordenadas cilíndricas (s, \varphi, z) ?
(b) Utilize apropriadamente a lei de Gauss do magnetismo para mostrar que B_{s}=0.
(c) Utilize apropriadamente a lei de Ampère para mostrar que B_{z} é independente de s. Que argumento você daria para mostrar que B_{z}=0 ?
(d) De forma independente dos itens (b) e (c), utilize o fato de que \vec{B} é um pseudovetor (ou seja, transforma-se por reflexão de maneira oposta à de um vetor) e argumentos de simetria de reflexão para mostrar que B_{s}=B_{z}=0. Seja explícito em relação a qual(is) plano(s) você se refere.
(e) Usando os resultados dos itens anteriores e a lei de Ampère, calcule a componente B_{\varphi} e expresse o campo magnético \vec{B} em qualquer ponto do espaço fora do fio.

Passo 1

O enunciado considera um fio infinito no eixo \mathcal{OZ} percorrido por uma corrente estacionária i. Em coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z) queremos encontrar o campo magnético \vec B(s,\varphi,z). Para isso vamos usar:
– as simetrias de translação ao longo de z e rotação em torno de z;
– a lei de Gauss para o magnetismo \nabla\cdot\vec B=0;
– a lei de Ampère no interior da forma diferencial \nabla\times\vec B=\mu_{0}\vec J e na forma integral \oint\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_{0}I_{\mathrm{enc}};
– o fato de que \vec B é um pseudovetor, para argumentos de reflexão.

Passo 2

Pela simetria de translação ao longo de z não pode haver dependência de z, e pela simetria de rotação em torno de z não pode haver dependência de \varphi. Assim escrevemos a forma genérica
\vec B(s,\varphi,z) = B_{s}(s)\,\hat e_{s} + B_{\varphi}(s)\,\hat e_{\varphi} + B_{z}(s)\,\hat e_{z},
onde cada componente depende apenas de s.

Passo 3

A lei de Gauss para o magnetismo é
\nabla\cdot\vec B = 0.
Em coordenadas cilíndricas, usando que nada depende de \varphi nem de z, fica
\frac{1}{s}\frac{d}{d s}\bigl(s\,B_{s}(s)\bigr)=0.
Integrando, s\,B_{s}(s)=\mathrm{const}. Como o campo deve ser finito em s=0, a constante vale zero. Logo
B_{s}(s)=0.

Passo 4

A forma diferencial da lei de Ampère é
\nabla\times\vec B = \mu_{0}\,\vec J.
No espaço livre fora do fio \vec J=0. A componente \varphi do rotacional dá
(\nabla\times\vec B)_{\varphi} =\frac{\partial B_{s}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial s} =-\frac{d B_{z}}{d s} =0,
pois B_{s}=0 e não há dependência de z. Logo dB_{z}/ds=0, ou seja, B_{z} é constante. Como em s\to\infty o campo magnético deve se anular, concluímos
B_{z}(s)=0.

Passo 5

Independentemente dos itens anteriores, usemos o fato de \vec B ser um pseudovetor e a reflexão em planos que contenham o eixo z.
  • Refletir no plano xz (coordenada y\to -y) mantém a corrente ao longo de z. Para pseudovetor axial a regra é \vec B'=-R\,\vec B com \det R=-1. Dessas condições segue B_{x}=0 e B_{z}=0.
  • Refletir no plano yz (coordenada x\to -x) dá B_{y}=0 e B_{z}=0.
Combinando, B_{s}=0 e B_{z}=0 ficam valendo sem recorrer às equações diferenciais.

Passo 6

Sobrando apenas B_{\varphi}(s), usamos a forma integral da lei de Ampère num círculo de raio s centrado no fio:
\oint \vec B\cdot d\vec\ell = B_{\varphi}(s)\,(2\pi s) = \mu_{0}\,i.
Então
B_{\varphi}(s) = \frac{\mu_{0}\,i}{2\pi\,s}.

Resposta

\boxed{ \vec B(s,\varphi,z) = \frac{\mu_{0}\,i}{2\pi\,s}\,\hat e_{\varphi}. }

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