(Importante!) Neste problema, vamos explorar as simetrias existentes no problema do fio infinito percorrido por uma corrente estacionária
. Considere que adotamos um sistema de eixos de tal modo que o fio se encontra sobre um eixo
e a corrente flui no sentido positivo do eixo
. Adote coordenadas cilídricas.
(a) Escreva a expressão genérica para o campo magnético
gerado pelo fio em qualquer ponto do espaço. Quais são as simetrias que este sistema exibe e o que elas nos permitem afirmar sobre as dependências das componentes do campo com as coordenadas cilíndricas
?
(b) Utilize apropriadamente a lei de Gauss do magnetismo para mostrar que
.
(c) Utilize apropriadamente a lei de Ampère para mostrar que
é independente de
. Que argumento você daria para mostrar que
?
(d) De forma independente dos itens (b) e (c), utilize o fato de que
é um pseudovetor (ou seja, transforma-se por reflexão de maneira oposta à de um vetor) e argumentos de simetria de reflexão para mostrar que
. Seja explícito em relação a qual(is) plano(s) você se refere.
(e) Usando os resultados dos itens anteriores e a lei de Ampère, calcule a componente
e expresse o campo magnético
em qualquer ponto do espaço fora do fio.
(a) Escreva a expressão genérica para o campo magnético
(b) Utilize apropriadamente a lei de Gauss do magnetismo para mostrar que
(c) Utilize apropriadamente a lei de Ampère para mostrar que
(d) De forma independente dos itens (b) e (c), utilize o fato de que
(e) Usando os resultados dos itens anteriores e a lei de Ampère, calcule a componente
Passo 1
O enunciado considera um fio infinito no eixo
percorrido por uma corrente estacionária
. Em coordenadas cilíndricas
queremos encontrar o campo magnético
. Para isso vamos usar:
– as simetrias de translação ao longo de e rotação em torno de
;
– a lei de Gauss para o magnetismo ;
– a lei de Ampère no interior da forma diferencial e na forma integral
;
– o fato de que é um pseudovetor, para argumentos de reflexão.
– as simetrias de translação ao longo de
– a lei de Gauss para o magnetismo
– a lei de Ampère no interior da forma diferencial
– o fato de que
Passo 2
Pela simetria de translação ao longo de
não pode haver dependência de
, e pela simetria de rotação em torno de
não pode haver dependência de
. Assim escrevemos a forma genérica
onde cada componente depende apenas de
.
Passo 3
A lei de Gauss para o magnetismo é
Em coordenadas cilíndricas, usando que nada depende de
nem de
, fica
Integrando,
. Como o campo deve ser finito em
, a constante vale zero. Logo
Passo 4
A forma diferencial da lei de Ampère é
No espaço livre fora do fio
. A componente
do rotacional dá
pois
e não há dependência de
. Logo
, ou seja,
é constante. Como em
o campo magnético deve se anular, concluímos
Passo 5
Independentemente dos itens anteriores, usemos o fato de
ser um pseudovetor e a reflexão em planos que contenham o eixo
.
- Refletir no plano
(coordenada ) mantém a corrente ao longo de . Para pseudovetor axial a regra é com . Dessas condições segue e . - Refletir no plano
(coordenada ) dá e .
Combinando,
e
ficam valendo sem recorrer às equações diferenciais.
Passo 6
Sobrando apenas
, usamos a forma integral da lei de Ampère num círculo de raio
centrado no fio:
Então