Uma partícula carregada de massa m=2,0.10^-27 kg, carga q=16.10^-19 C e velocidade inicial vo=(5,0 times 10^4 m / s) jmath ingressa em uma região com magnético uniforme dado por: B=-(0,4 T) jmath+(0,8 T) k. Determine:
b) O raio da trajetória e o período do movimento que a partícula passará a ter,

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula com massa $ m = 2,0 \times 10^{-27} , \mathrm{kg} $, carga elétrica $ q = 16 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $ e velocidade inicial $ \overrightarrow{v_{0}} = (5,0 \times 10^{4} , \mathrm{m/s}) \hat{\jmath} $. Ela entra em uma região onde há um campo magnético uniforme dado por $ \overrightarrow{B} = -0,4 , \mathrm{T} \hat{\jmath} + 0,8 , \mathrm{T} \hat{k} $. Nosso objetivo é descobrir o raio da trajetória que a partícula seguirá e quanto tempo levará para completar uma volta, ou seja, o período do movimento. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de força magnética e movimento circular uniforme.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a força magnética que atua sobre a partícula. A força de Lorentz, que é a força magnética, é dada por:
F = q , v times B
Essa força é responsável por fazer a partícula se mover em uma trajetória circular quando a força está sempre perpendicular à velocidade.

Passo 3

Vamos identificar a componente do campo magnético que é perpendicular à velocidade inicial da partícula. A velocidade inicial está na direção $ \hat{\jmath} $ e o campo magnético tem componentes em $ \hat{\jmath} $ e $ \hat{k} $. Apenas a componente $ 0,8 , \mathrm{T} \hat{k} $ é perpendicular à velocidade, pois a componente em $ \hat{\jmath} $ está na mesma direção da velocidade e, portanto, não contribui para a força magnética.

Passo 4

Com a componente perpendicular identificada, a força magnética pode ser calculada por:
F = q , v0 , Bperp
onde $ B_{\perp} = 0,8 , \mathrm{T} $.

Passo 5

Essa força magnética fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular da partícula, que é dada por:
F = m v0^2r
onde $ r $ é o raio da trajetória.

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força, temos:
q , v0 , Bperp = m v0^2r
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ v_{0} $:
v0

Passo 7

Isolando o raio $ r $, obtemos:
r
Substituindo os valores fornecidos:
r = m v0q Bperp

Passo 8

Calculando os valores:
r = 2,0 times 5,0 times 10^-27 + 416 times 0,8 times 10^-19
r = 10,0 times 10^-2312,8 times 10^-19
r = 10,012,8 times 10^-4 , m
r approx 0,78125 times 10^-4 , m
r approx 7,81 times 10^-5 , m

Passo 9

Agora, vamos calcular o período $ T $ do movimento circular. O período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta e é dado por:
T
Substituindo os valores encontrados:
T = 2 pi rv0

Passo 10

Calculando o valor:
T = 2 pi times 7,81 times 10^-55,0 times 10^4
T = 4,908 times 10^-45,0 times 10^4
T = 9,816 times 10^-9 , s

Resposta

O raio da trajetória da partícula é aproximadamente $ 7,81 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $ e o período do movimento é cerca de $ 9,82 \times 10^{-9} , \mathrm{s} $.

Exercícios relacionados