Uma partícula está confinada entre duas paredes rígidas separadas pela distância L. A partícula está no seu estado de energia mais baixa, ou seja, seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de a partícula estar entre os pontos
x=L / 3 e x=2 L / 3

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula no estado fundamental de um poço de potencial infinito de largura L, com paredes em x=0 e x=L. Precisamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo de x=L/3 até x=2L/3. Para isso usaremos a função de onda normalizada do estado fundamental e integraremos o quadrado do seu módulo nesse intervalo.

Passo 2

A função de onda do estado fundamental ( n=1) no poço é
psi1(x) = raiz2Lsin!l(pi xLr),
e ela já está normalizada em [0,L].

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula entre x=L/3 e x=2L/3 é
P = integralL/3^2L/3 l|psi1(x)r|^2,dx = 2L integralL/3^2L/3 sin^2!l(pi xLr),dx

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
sin^2 u = 12l(1 - cos(2u)r)
com u = pi x/L, de modo que
sin^2!l(pi xLr) = 12l(1 - cos!l(tfrac2pi xLr)r)

Passo 5

Substituindo na integral,
P = 2L integralL/3^2L/3 12l(1 - cos(tfrac2pi xL)r),dx = 1L integralL/3^2L/3 l(1 - cos(tfrac2pi xL)r),dx
As primitivas são
integral 1,dx = x, integral cos!l(tfrac2pi xLr),dx = L2pisin!l(tfrac2pi xLr)
Logo a antiderivada é
x - L2pisin!l(tfrac2pi xLr),
avaliada de x=L/3 a x=2L/3:
P = 1L l[ l(2L/3 - tfracL2pisin(tfrac4pi3)r) - l(L/3 - tfracL2pisin(tfrac2pi3)r) r]

Passo 6

Reconhecendo que
sin(tfrac2pi3) = tfracraiz32 e sin(tfrac4pi3) = -tfracraiz32,
temos sin(tfrac4pi3) - sin(tfrac2pi3) = -raiz3. Substituindo,
P = 13 - 12pil(sin(tfrac4pi3) - sin(tfrac2pi3)r) = 13 + raiz32pi

Resposta

P = 13 + raiz32pi

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