Q2) Uma partícula descreve um movimento em que a sua posição varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:
Determine o que se pede abaixo:
a) A posição nos instantes de
s e t
;
b) A velocidade média no intervalo de
a
;
c) A equação da velocidade em função do tempo;
d) A velocidade nos instantes de
s et
;
e) A equação da aceleração em função do tempo.
f) A aceleração nos instantes de
s e t
.
a) A posição nos instantes de
b) A velocidade média no intervalo de
c) A equação da velocidade em função do tempo;
d) A velocidade nos instantes de
e) A equação da aceleração em função do tempo.
f) A aceleração nos instantes de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo, e a posição dela no tempo é dada pela equação:
Vamos precisar usar conceitos de posição, velocidade média, velocidade instantânea, e aceleração. Vou te explicar cada passo direitinho para a gente tirar todas as dúvidas.
Passo 2
a) Determinar a posição nos instantes de $ t_{1}=0 $ s e $ t_{2}=2 $ s
Primeiro, vamos calcular a posição da partícula nos tempos $ t = 0 $ segundos e $ t = 2 $ segundos usando a equação dada.
Para $ t = 0 $:
Para $ t = 2 $:
Passo 3
b) Calcular a velocidade média no intervalo de $ t_{1}=0 $ s a $ t_{2}=2 $ s
A velocidade média ($ v_{m} $) é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
Já calculamos $ x(2) = 42 $ e $ x(0) = 10 $, então:
Passo 4
c) Encontrar a equação da velocidade em função do tempo
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar $ x(t) $:
Então, a equação da velocidade é:
Passo 5
d) Determinar a velocidade nos instantes de $ t_{1}=0 $ s e $ t_{2}=2 $ s
Vamos usar a equação da velocidade que encontramos:
Para $ t = 0 $:
Para $ t = 2 $:
Passo 6
e) Encontrar a equação da aceleração em função do tempo
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar $ v(t) = 8t + 6t^{2} $:
Então, a equação da aceleração é:
Passo 7
f) Determinar a aceleração nos instantes de $ t_{1}=0 $ s e $ t_{2}=2 $ s
Usando a equação da aceleração que achamos:
Para $ t = 0 $:
Para $ t = 2 $:
Resposta
a) A posição em $ t=0 $ s é 10 unidades e em $ t=2 $ s é 42 unidades.
b) A velocidade média no intervalo é 16 unidades/s.
c) A equação da velocidade é $ v(t) = 8t + 6t^{2} $.
d) A velocidade em $ t=0 $ s é 0 unidades/s e em $ t=2 $ s é 40 unidades/s.
e) A equação da aceleração é $ a(t) = 8 + 12t $.
f) A aceleração em $ t=0 $ s é 8 unidades/s² e em $ t=2 $ s é 32 unidades/s².