Q2) Uma partícula descreve um movimento em que a sua posição varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:
x(t)=10+4 t^2+2 t^3
Determine o que se pede abaixo:
a) A posição nos instantes de t1=0 s e t t2=2 s;
b) A velocidade média no intervalo de t1=0 s a t2=2 s;
c) A equação da velocidade em função do tempo;
d) A velocidade nos instantes de t1=0 s et t2=2 s;
e) A equação da aceleração em função do tempo.
f) A aceleração nos instantes de t1=0 s e t 2=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo, e a posição dela no tempo é dada pela equação:
x(t) = 10 + 4t^2 + 2t^3
Vamos precisar usar conceitos de posição, velocidade média, velocidade instantânea, e aceleração. Vou te explicar cada passo direitinho para a gente tirar todas as dúvidas.

Passo 2

a) Determinar a posição nos instantes de $ t_{1}=0 $ s e $ t_{2}=2 $ s
Primeiro, vamos calcular a posição da partícula nos tempos $ t = 0 $ segundos e $ t = 2 $ segundos usando a equação dada.
Para $ t = 0 $:
t1=0
Para $ t = 2 $:
t2=2

Passo 3

b) Calcular a velocidade média no intervalo de $ t_{1}=0 $ s a $ t_{2}=2 $ s
A velocidade média ($ v_{m} $) é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
t1=0
Já calculamos $ x(2) = 42 $ e $ x(0) = 10 $, então:
t2=2

Passo 4

c) Encontrar a equação da velocidade em função do tempo
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar $ x(t) $:
x(t)
Então, a equação da velocidade é:
v(t) = dxdt = ddt(10 + 4t^2 + 2t^3) = 0 + 8t + 6t^2 = 8t + 6t^2

Passo 5

d) Determinar a velocidade nos instantes de $ t_{1}=0 $ s e $ t_{2}=2 $ s
Vamos usar a equação da velocidade que encontramos:
Para $ t = 0 $:
t1=0
Para $ t = 2 $:
t2=2

Passo 6

e) Encontrar a equação da aceleração em função do tempo
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar $ v(t) = 8t + 6t^{2} $:
v(t) = 8t + 6t^2
Então, a equação da aceleração é:
a(t) = dvdt = ddt(8t + 6t^2) = 8 + 12t

Passo 7

f) Determinar a aceleração nos instantes de $ t_{1}=0 $ s e $ t_{2}=2 $ s
Usando a equação da aceleração que achamos:
Para $ t = 0 $:
t1=0
Para $ t = 2 $:
t2=2

Resposta

a) A posição em $ t=0 $ s é 10 unidades e em $ t=2 $ s é 42 unidades.
b) A velocidade média no intervalo é 16 unidades/s.
c) A equação da velocidade é $ v(t) = 8t + 6t^{2} $.
d) A velocidade em $ t=0 $ s é 0 unidades/s e em $ t=2 $ s é 40 unidades/s.
e) A equação da aceleração é $ a(t) = 8 + 12t $.
f) A aceleração em $ t=0 $ s é 8 unidades/s² e em $ t=2 $ s é 32 unidades/s².

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