Q3) Uma partícula parte do repouso da posição 5 m e descreve um movimento em que a aceleração varia no tempo de acordo com a equação abaixo:
Determine o que se pede abaixo:
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A velocidade no instante de 3s;
c) A equação da posição em função do tempo;
d) A posição no instante de 3 s .
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A velocidade no instante de 3s;
c) A equação da posição em função do tempo;
d) A posição no instante de 3 s .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa do repouso na posição 5 metros e se move com uma aceleração que muda com o tempo segundo a equação $ \mathrm{a}(\mathrm{t}) = 24 \mathrm{t}^2 $. A matéria aqui envolve cinemática, que é o estudo do movimento. Para resolver isso, a gente vai precisar integrar a função da aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos resolver passo a passo as quatro partes do exercício.
Passo 2
a) A equação da velocidade em função do tempo
Primeiro, a aceleração $ \mathrm{a}(t) = 24 t^2 $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para achar a velocidade, a gente precisa integrar a aceleração:
Integrando $ 24 t^2 $:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial $ \mathrm{v}(0) = 0 $. Substituindo $ t = 0 $:
Portanto, a equação da velocidade é:
Passo 3
b) A velocidade no instante de 3s
Agora que temos a equação da velocidade $ \mathrm{v}(t) = 8 t^3 $, é só substituir $ t = 3 $ segundos:
Passo 4
c) A equação da posição em função do tempo
A posição é a integral da velocidade. Então, vamos integrar $ \mathrm{v}(t) = 8 t^3 $:
Integrando $ 8 t^3 $:
Sabemos que a partícula parte da posição 5 metros, então $ \mathrm{x}(0) = 5 $. Substituindo $ t = 0 $:
Portanto, a equação da posição é:
Passo 5
d) A posição no instante de 3 s
Com a equação da posição $ \mathrm{x}(t) = 2 t^4 + 5 $, basta substituir $ t = 3 $ segundos:
Resposta
a) $ \mathrm{v}(t) = 8 t^3 $
b) $ \mathrm{v}(3) = 216 , m/s $
c) $ \mathrm{x}(t) = 2 t^4 + 5 $
d) $ \mathrm{x}(3) = 167 , m $
b) $ \mathrm{v}(3) = 216 , m/s $
c) $ \mathrm{x}(t) = 2 t^4 + 5 $
d) $ \mathrm{x}(3) = 167 , m $