Q3) Uma partícula parte do repouso da posição 5 m e descreve um movimento em que a aceleração varia no tempo de acordo com a equação abaixo:
a(t)=24 t^2
Determine o que se pede abaixo:
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A velocidade no instante de 3s;
c) A equação da posição em função do tempo;
d) A posição no instante de 3 s .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa do repouso na posição 5 metros e se move com uma aceleração que muda com o tempo segundo a equação $ \mathrm{a}(\mathrm{t}) = 24 \mathrm{t}^2 $. A matéria aqui envolve cinemática, que é o estudo do movimento. Para resolver isso, a gente vai precisar integrar a função da aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos resolver passo a passo as quatro partes do exercício.

Passo 2

a) A equação da velocidade em função do tempo
Primeiro, a aceleração $ \mathrm{a}(t) = 24 t^2 $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para achar a velocidade, a gente precisa integrar a aceleração:
a(t) = 24 t^2
Integrando $ 24 t^2 $:
v(t) = integral a(t) , dt = integral 24 t^2 , dt
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial $ \mathrm{v}(0) = 0 $. Substituindo $ t = 0 $:
24 t^2
Portanto, a equação da velocidade é:
v(t) = 24 cdot t^33 + C = 8 t^3 + C

Passo 3

b) A velocidade no instante de 3s
Agora que temos a equação da velocidade $ \mathrm{v}(t) = 8 t^3 $, é só substituir $ t = 3 $ segundos:
v(t) = 8 t^3

Passo 4

c) A equação da posição em função do tempo
A posição é a integral da velocidade. Então, vamos integrar $ \mathrm{v}(t) = 8 t^3 $:
v(t) = 8 t^3
Integrando $ 8 t^3 $:
x(t) = integral v(t) , dt = integral 8 t^3 , dt
Sabemos que a partícula parte da posição 5 metros, então $ \mathrm{x}(0) = 5 $. Substituindo $ t = 0 $:
8 t^3
Portanto, a equação da posição é:
x(t) = 8 cdot t^44 + C = 2 t^4 + C

Passo 5

d) A posição no instante de 3 s
Com a equação da posição $ \mathrm{x}(t) = 2 t^4 + 5 $, basta substituir $ t = 3 $ segundos:
x(t) = 2 t^4 + 5

Resposta

a) $ \mathrm{v}(t) = 8 t^3 $
b) $ \mathrm{v}(3) = 216 , m/s $
c) $ \mathrm{x}(t) = 2 t^4 + 5 $
d) $ \mathrm{x}(3) = 167 , m $

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