Durante o movimento de uma partícula em uma linha de produção, sua posição é dada por:
No instante
, determine:
a) o vetor tangente
b) o vetor tangente unitário
No instante
a) o vetor tangente
b) o vetor tangente unitário
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
e pede, no instante
:
a) o vetor tangente (ou seja, a derivada vetor de
);
b) o vetor tangente unitário .
a) o vetor tangente
b) o vetor tangente unitário
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função vetor
tem três componentes: , e . - O instante em que devemos avaliar é
. - O vetor tangente unitário é obtido dividindo-se o vetor tangente pela sua norma.
Passo 2
Vamos lembrar como derivar cada componente (aqui é só derivação de funções usuais):
- A derivada de
é (regra do poder: ). - A derivada de
é (constante vezes ). - A derivada de
é (regra da cadeia: , aqui e ).
Portanto a derivada vetor é, reunindo as componentes derivadas:
Passo 3
Agora avaliamos o vetor tangente no instante
. Substituindo
em cada componente de
:
Passo 4
Precisamos da norma (módulo) de
para construir o vetor unitário. A norma de um vetor
é
Aplicando a
:
Expliquei cada passo: calculei os quadrados
,
, somei e escrevi em forma fracionária para simplificar a raiz.
Passo 5
O vetor tangente unitário
é o vetor
dividido por sua norma:
Substituindo os valores que já temos:
Verificação rápida (opcional): o quadrado da norma desse vetor é
logo a norma é
, como deve ser para um vetor unitário.