Durante o movimento de uma partícula em uma linha de produção, sua posição é dada por:
r(t)=\left\langle t^{2}, 2 t, \ln (t+1)\right\rangle
No instante t=1, determine:
a) o vetor tangente r^{\prime}(t)
b) o vetor tangente unitário T(1)

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
r(t)=\left\langle t^{2},\,2t,\,\ln(t+1)\right\rangle
e pede, no instante \,t=1:
a) o vetor tangente r'(t) (ou seja, a derivada vetor de r);
b) o vetor tangente unitário T(1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função vetor r(t) tem três componentes: t^{2}, 2t e \ln(t+1).
  • O instante em que devemos avaliar é \,t=1.
  • O vetor tangente unitário é obtido dividindo-se o vetor tangente pela sua norma.

Passo 2

Vamos lembrar como derivar cada componente (aqui é só derivação de funções usuais):
  • A derivada de \,t^{2} é \,2t (regra do poder: \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}).
  • A derivada de \,2t é \,2 (constante vezes t).
  • A derivada de \ln(t+1) é \dfrac{1}{t+1} (regra da cadeia: \frac{d}{dt}\ln(u)=\frac{u'}{u}, aqui u=t+1 e u'=1).
Portanto a derivada vetor é, reunindo as componentes derivadas:
r'(t)=\left\langle 2t,\,2,\,\frac{1}{t+1}\right\rangle.

Passo 3

Agora avaliamos o vetor tangente no instante \,t=1. Substituindo t=1 em cada componente de r'(t):
r'(1)=\left\langle 2\cdot 1,\,2,\,\frac{1}{1+1}\right\rangle=\left\langle 2,\,2,\,\tfrac{1}{2}\right\rangle.

Passo 4

Precisamos da norma (módulo) de r'(1) para construir o vetor unitário. A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é
\| \langle a,b,c\rangle\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando a r'(1)=\left\langle 2,2,\tfrac{1}{2}\right\rangle:
\|r'(1)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{4+4+\tfrac{1}{4}} =\sqrt{\tfrac{33}{4}} =\tfrac{\sqrt{33}}{2}.
Expliquei cada passo: calculei os quadrados 2^{2}=4, (\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}, somei e escrevi em forma fracionária para simplificar a raiz.

Passo 5

O vetor tangente unitário T(1) é o vetor r'(1) dividido por sua norma:
T(1)=\frac{r'(1)}{\|r'(1)\|}.
Substituindo os valores que já temos:
T(1)=\frac{\left\langle 2,\,2,\,\tfrac{1}{2}\right\rangle}{\tfrac{\sqrt{33}}{2}} =\left\langle 2,\,2,\,\tfrac{1}{2}\right\rangle\cdot\frac{2}{\sqrt{33}} =\left\langle \frac{4}{\sqrt{33}},\,\frac{4}{\sqrt{33}},\,\frac{1}{\sqrt{33}}\right\rangle.
Verificação rápida (opcional): o quadrado da norma desse vetor é
\left(\frac{4}{\sqrt{33}}\right)^{2}+\left(\frac{4}{\sqrt{33}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right)^{2} =\frac{16+16+1}{33}=\frac{33}{33}=1,
logo a norma é 1, como deve ser para um vetor unitário.

Resposta

r'(t)=\left\langle 2t,\,2,\,\dfrac{1}{t+1}\right\rangle
T(1)=\left\langle \dfrac{4}{\sqrt{33}},\,\dfrac{4}{\sqrt{33}},\,\dfrac{1}{\sqrt{33}}\right\rangle

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