Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem:
f(x, y)=\left(2 x^{3} y^{2}\right) e^{\operatorname{sen}(2 x y)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\left(2x^{3}y^{2}\right)e^{\operatorname{sen}(2xy)}.
Informações dadas:
  • A função é produto de duas funções de x e y: u(x,y)=2x^{3}y^{2} e v(x,y)=e^{\operatorname{sen}(2xy)}.
  • Deve-se encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que vamos usar (explicado passo a passo, como se estivesse na prova):
  1. Definição de derivada parcial: para \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e deriva-se em relação a x. Para \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante e deriva-se em relação a y.
  2. Regra do produto (no contexto de derivadas parciais): se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
\dfrac{\partial f}{\partial x}= \dfrac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}= \dfrac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\dfrac{\partial v}{\partial y}.
Isto é análogo à regra do produto de funções de uma variável, só que aqui cada derivada parcial considera a outra variável fixa.
  1. Regra da cadeia (para composições): se v(x,y)=e^{g(x,y)}, então
\dfrac{\partial v}{\partial x}= e^{g(x,y)}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}, \qquad \dfrac{\partial v}{\partial y}= e^{g(x,y)}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial y}.
E se g(x,y)=\operatorname{sen}(2xy), então
\dfrac{\partial g}{\partial x}=\cos(2xy)\cdot \dfrac{\partial (2xy)}{\partial x}=\cos(2xy)\cdot 2y,
\dfrac{\partial g}{\partial y}=\cos(2xy)\cdot \dfrac{\partial (2xy)}{\partial y}=\cos(2xy)\cdot 2x.
Aqui está explicadinho: a derivada de \sin é \cos e depois multiplica-se pela derivada do argumento 2xy.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x (calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}):
  1. Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} com u(x,y)=2x^{3}y^{2}. Como y é tratado como constante, a derivada de x^{3} é 3x^{2}, então
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2\cdot 3x^{2}\cdot y^{2}=6x^{2}y^{2}.
  1. Calcular \dfrac{\partial v}{\partial x} com v(x,y)=e^{\operatorname{sen}(2xy)}. Usando a regra da cadeia descrita:
\dfrac{\partial v}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(2xy)}\cdot \cos(2xy)\cdot 2y.
  1. Aplicar a regra do produto:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo os valores:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}y^{2}\,e^{\operatorname{sen}(2xy)} + \left(2x^{3}y^{2}\right)\left(e^{\operatorname{sen}(2xy)}\cdot \cos(2xy)\cdot 2y\right).
  1. Simplificar fatorando e^{\operatorname{sen}(2xy)} (fator comum) e simplificando os coeficientes:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(2xy)}\!\left(6x^{2}y^{2} + 4x^{3}y^{3}\cos(2xy)\right).
Também é útil fatorar 2x^{2}y^{2} para escrita mais compacta:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x^{2}y^{2}\,e^{\operatorname{sen}(2xy)}\!\left(3 + 2xy\cos(2xy)\right).

Passo 4

Derivada parcial em relação a y (calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}):
  1. Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y} com u(x,y)=2x^{3}y^{2}. Agora x é constante, a derivada de y^{2} é 2y, então
\dfrac{\partial u}{\partial y}=2x^{3}\cdot 2y=4x^{3}y.
  1. Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y} com v(x,y)=e^{\operatorname{sen}(2xy)}. Pela regra da cadeia:
\dfrac{\partial v}{\partial y}=e^{\operatorname{sen}(2xy)}\cdot \cos(2xy)\cdot 2x.
  1. Aplicar a regra do produto:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\dfrac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=4x^{3}y\,e^{\operatorname{sen}(2xy)} + \left(2x^{3}y^{2}\right)\left(e^{\operatorname{sen}(2xy)}\cdot \cos(2xy)\cdot 2x\right).
  1. Simplificar fatorando e^{\operatorname{sen}(2xy)} e coeficientes:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{\operatorname{sen}(2xy)}\!\left(4x^{3}y + 4x^{4}y^{2}\cos(2xy)\right).
Fatorando 4x^{3}y para ficar mais compacto:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=4x^{3}y\,e^{\operatorname{sen}(2xy)}\!\left(1 + xy\cos(2xy)\right).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(2xy)}\!\left(6x^{2}y^{2} + 4x^{3}y^{3}\cos(2xy)\right)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{\operatorname{sen}(2xy)}\!\left(4x^{3}y + 4x^{4}y^{2}\cos(2xy)\right)

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