Calcule as derivadas parciais de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas:
- A função é produto de duas funções de
e : e . - Deve-se encontrar
e .
Passo 2
O que vamos usar (explicado passo a passo, como se estivesse na prova):
-
Definição de derivada parcial: para
trata-se como constante e deriva-se em relação a . Para trata-se como constante e deriva-se em relação a . -
Regra do produto (no contexto de derivadas parciais): se
, então
Isto é análogo à regra do produto de funções de uma variável, só que aqui cada derivada parcial considera a outra variável fixa.
- Regra da cadeia (para composições): se
, então
E se
, então
Aqui está explicadinho: a derivada de
é
e depois multiplica-se pela derivada do argumento
.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
(calcular
):
- Calcular
com . Como é tratado como constante, a derivada de é , então
- Calcular
com . Usando a regra da cadeia descrita:
- Aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores:
- Simplificar fatorando
(fator comum) e simplificando os coeficientes:
Também é útil fatorar
para escrita mais compacta:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
(calcular
):
- Calcular
com . Agora é constante, a derivada de é , então
- Calcular
com . Pela regra da cadeia:
- Aplicar a regra do produto:
Substituindo:
- Simplificar fatorando
e coeficientes:
Fatorando
para ficar mais compacto: