Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal de acordo com a função posição s(t)=2 t^{3}-14 t^{2}+22 t-5 ; t \geq 0. Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento da partícula com base no estudo de sinal das derivadas primeira e segunda.

Passo 1

O enunciado fornece a função posição da partícula, definida para t\ge 0:
s(t)=2 t^{3}-14 t^{2}+22 t-5.
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade da partícula (a derivada primeira de s).
  • Determinar a aceleração da partícula (a derivada segunda de s).
  • Descrever o movimento da partícula com base no estudo de sinal de s'(t) e s''(t): em que intervalos ela se move para a direita ou para a esquerda, onde ela para e muda de sentido, onde está acelerando ou desacelerando, e onde há inflexão da trajetória.
As informações relevantes que temos: a expressão de s(t) e a restrição t\ge 0. A resolução começa calculando as derivadas e depois estudando os sinais delas.

Passo 2

Vamos calcular a velocidade v(t)=s'(t) aplicando a regra do poder (power rule): a derivada de c\,t^{n} é c\cdot n\,t^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\big(2t^{3}\big) &= 2\cdot 3 t^{2} = 6 t^{2},\\[4pt] \frac{d}{dt}\big(-14t^{2}\big) &= -14\cdot 2 t = -28 t,\\[4pt] \frac{d}{dt}\big(22t\big) &= 22,\\[4pt] \frac{d}{dt}\big(-5\big) &= 0. \end{aligned}
Somando, obtemos a velocidade:
v(t)=s'(t)=6 t^{2}-28 t+22.]

Passo 3

Agora calculamos a aceleração a(t)=s''(t)=v'(t), derivando v(t) termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(6t^{2}\big)=12t,\qquad \frac{d}{dt}\big(-28t\big)=-28,\qquad \frac{d}{dt}\big(22\big)=0.
Portanto
a(t)=s''(t)=12t-28.

Passo 4

Para estudar sinais precisamos das raízes de v(t) e a(t).
Primeiro v(t)=6t^{2}-28t+22. Podemos simplificar dividindo por 2 ou resolver direto. Dividindo por 2:
3t^{2}-14t+11=0.
Usando a fórmula quadrática ou reconhecendo fatoração, calcule o discriminante:
\Delta = (-14)^{2}-4\cdot 3\cdot 11 =196-132=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8.
Logo as raízes são
t=\frac{14\pm 8}{6}.
Isto dá
t_{1}=\frac{14-8}{6}=1,\qquad t_{2}=\frac{14+8}{6}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\approx 3{,}666\ldots
Assim podemos escrever v(t) fatorada:
v(t)=6(t-1)\!\left(t-\frac{11}{3}\right).
Agora a(t)=12t-28. A raiz é
12t-28=0\quad\Rightarrow\quad t=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\approx 2{,}333\ldots
E fatorada:
a(t)=12\left(t-\frac{7}{3}\right).

Passo 5

Interpretação rápida do significado dos sinais:
  • v(t)>0 significa que a partícula se move no sentido positivo (direita); v(t)<0 significa que se move no sentido negativo (esquerda).
  • a(t)>0 significa que a velocidade está aumentando (isto é, v cresce com t); a(t)<0 significa que a velocidade está diminuindo.
  • Se v e a têm o mesmo sinal, a partícula está acelerando (a velocidade aumenta em módulo se positiva, ou aumenta em valor negativo se negativa? cuidado: se v<0 e a<0 a velocidade fica mais negativa, ou seja, a partícula acelera para a esquerda—intuitivamente “ganha velocidade” no sentido negativo). Se v e a têm sinais opostos, a partícula está desacelerando (o módulo da velocidade diminui).

Passo 6

Fazemos o estudo de sinal em t\ge 0. As raízes ordenadas relevantes são t=1, t=\tfrac{7}{3} e t=\tfrac{11}{3}. Vamos usar pontos de teste em cada intervalo e também avaliar sinais nas raízes:
Calculemos valores simples:
v(0)=22>0,\qquad a(0)=-28<0.
v(2)=6\cdot 4 -28\cdot 2 +22 =24-56+22=-10<0,\qquad a(2)=12\cdot 2-28=-4<0.
v(3)=6\cdot 9 -28\cdot 3 +22 =54-84+22=-8<0,\qquad a(3)=12\cdot 3-28=8>0.
v(4)=6\cdot 16 -28\cdot 4 +22 =96-112+22=6>0,\qquad a(4)=12\cdot 4-28=20>0.
Com isso temos o seguinte quadro (lembrando t\ge 0):
  • Intervalo 0\le t<1:
    • v(t)>0 (ex.: v(0)=22), então a partícula se move para a direita.
    • a(t)<0 (ex.: a(0)=-28), então a velocidade está diminuindo → a partícula se move para a direita, mas está desacelerando.
  • Em t=1:
    • v(1)=0. A mudança de sinal de v é de positivo para negativo (antes de 1 era positivo, depois é negativo), logo a partícula para e inverte o sentido — t=1 é um ponto de máximo local da posição.
    • s(1)=2\cdot1^{3}-14\cdot1^{2}+22\cdot1-5=2-14+22-5=5. Portanto posição neste ponto: s(1)=5.
  • Intervalo 1<t<\tfrac{7}{3} (isto é, aproximadamente 1<t<2{,}333):
    • v(t)<0 (ex.: v(2)=-10), a partícula se move para a esquerda.
    • a(t)<0 (ex.: a(2)=-4), a velocidade está diminuindo (ficando mais negativa) → a partícula acelera para a esquerda (ganha rapidez no sentido negativo).
  • Em t=\tfrac{7}{3} (aprox. 2{,}333):
    • a\big(\tfrac{7}{3}\big)=0. É um ponto de inflexão para s(t): a concavidade muda de côncava para cima/baixo aqui.
    • O valor de v neste instante é ainda negativo: v\!\left(\frac{7}{3}\right)=6\!\left(\frac{7}{3}-1\right)\!\left(\frac{7}{3}-\frac{11}{3}\right) =6\cdot\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{32}{3}<0.
  • Intervalo \tfrac{7}{3}<t<\tfrac{11}{3} (aprox. 2{,}333<t<3{,}666):
    • v(t)<0 (ex.: v(3)=-8), a partícula ainda se move para a esquerda.
    • a(t)>0 (ex.: a(3)=8), a velocidade está aumentando (isto é, está ficando menos negativa) → a partícula está desacelerando enquanto se move para a esquerda (o módulo da velocidade diminui).
  • Em t=\tfrac{11}{3} (aprox. 3{,}666):
    • v\big(\tfrac{11}{3}\big)=0. O sinal de v muda de negativo para positivo, logo a partícula para e inverte o sentido — t=\tfrac{11}{3} é um ponto de mínimo local da posição.
    • Calculando a posição neste instante (usar cálculo exato é útil): s\!\left(\frac{11}{3}\right)=2\left(\frac{11}{3}\right)^{3}-14\left(\frac{11}{3}\right)^{2}+22\left(\frac{11}{3}\right)-5 =-\frac{377}{27}\approx -13{,}96296.
  • Intervalo t>\tfrac{11}{3}:
    • v(t)>0 (ex.: v(4)=6), a partícula move-se para a direita.
    • a(t)>0 (ex.: a(4)=20), a velocidade cresce → a partícula acelera para a direita.

Passo 7

Comentário sobre concavidade e inflexão:
  • Como a(t)=s''(t)=12\big(t-\tfrac{7}{3}\big), temos s''(t)<0 para t<\tfrac{7}{3} (função posição côncava para baixo) e s''(t)>0 para t>\tfrac{7}{3} (côncava para cima). O ponto t=\tfrac{7}{3} é ponto de inflexão da trajetória.

Passo 8

Conclusões principais (resumo prático que ajuda na hora da prova):
  • Velocidade: \;v(t)=6t^{2}-28t+22=6(t-1)\!\left(t-\tfrac{11}{3}\right).
  • Aceleração: \;a(t)=12t-28=12\left(t-\tfrac{7}{3}\right).
  • Comportamento:
    • 0\le t<1: move-se para a direita ( v>0) e desacelera ( a<0).
    • t=1: para e inverte sentido (máximo local) em s(1)=5.
    • 1<t<\tfrac{7}{3}: move-se para a esquerda ( v<0) e acelera para a esquerda ( a<0).
    • t=\tfrac{7}{3}: inflexão ( a=0), concavidade muda.
    • \tfrac{7}{3}<t<\tfrac{11}{3}: move-se para a esquerda ( v<0) e desacelera ( a>0).
    • t=\tfrac{11}{3}: para e inverte sentido (mínimo local) em s\big(\tfrac{11}{3}\big)=-\dfrac{377}{27}.
    • t>\tfrac{11}{3}: move-se para a direita ( v>0) e acelera ( a>0).

Resposta

v(t)=6t^{2}-28t+22=6(t-1)\!\left(t-\dfrac{11}{3}\right)
a(t)=12t-28=12\left(t-\dfrac{7}{3}\right)
Movimento: 0\le t<1 — direita e desacelera; t=1 — para e inverte (máx em s(1)=5); 1<t<\tfrac{7}{3} — esquerda e acelera; t=\tfrac{7}{3} — inflexão; \tfrac{7}{3}<t<\tfrac{11}{3} — esquerda e desacelera; t=\tfrac{11}{3} — para e inverte (mín em s=\!-{\tfrac{377}{27}}); t>\tfrac{11}{3} — direita e acelera.

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