Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal de acordo com a função posição
. Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento da partícula com base no estudo de sinal das derivadas primeira e segunda.
Passo 1
O enunciado fornece a função posição da partícula, definida para
:
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade da partícula (a derivada primeira de
). - Determinar a aceleração da partícula (a derivada segunda de
). - Descrever o movimento da partícula com base no estudo de sinal de
e : em que intervalos ela se move para a direita ou para a esquerda, onde ela para e muda de sentido, onde está acelerando ou desacelerando, e onde há inflexão da trajetória.
As informações relevantes que temos: a expressão de
e a restrição
. A resolução começa calculando as derivadas e depois estudando os sinais delas.
Passo 2
Vamos calcular a velocidade
aplicando a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Somando, obtemos a velocidade:
Passo 3
Agora calculamos a aceleração
, derivando
termo a termo:
Portanto
Passo 4
Para estudar sinais precisamos das raízes de
e
.
Primeiro
. Podemos simplificar dividindo por
ou resolver direto. Dividindo por
:
Usando a fórmula quadrática ou reconhecendo fatoração, calcule o discriminante:
Logo as raízes são
Isto dá
Assim podemos escrever
fatorada:
Agora
. A raiz é
E fatorada:
Passo 5
Interpretação rápida do significado dos sinais:
-
significa que a partícula se move no sentido positivo (direita); significa que se move no sentido negativo (esquerda). -
significa que a velocidade está aumentando (isto é, cresce com ); significa que a velocidade está diminuindo. - Se
e têm o mesmo sinal, a partícula está acelerando (a velocidade aumenta em módulo se positiva, ou aumenta em valor negativo se negativa? cuidado: se e a velocidade fica mais negativa, ou seja, a partícula acelera para a esquerda—intuitivamente “ganha velocidade” no sentido negativo). Se e têm sinais opostos, a partícula está desacelerando (o módulo da velocidade diminui).
Passo 6
Fazemos o estudo de sinal em
. As raízes ordenadas relevantes são
,
e
. Vamos usar pontos de teste em cada intervalo e também avaliar sinais nas raízes:
Calculemos valores simples:
Com isso temos o seguinte quadro (lembrando
):
-
Intervalo
: -
(ex.: ), então a partícula se move para a direita. -
(ex.: ), então a velocidade está diminuindo → a partícula se move para a direita, mas está desacelerando.
-
-
Em
: -
. A mudança de sinal de é de positivo para negativo (antes de 1 era positivo, depois é negativo), logo a partícula para e inverte o sentido — é um ponto de máximo local da posição. -
. Portanto posição neste ponto: .
-
-
Intervalo
(isto é, aproximadamente ): -
(ex.: ), a partícula se move para a esquerda. -
(ex.: ), a velocidade está diminuindo (ficando mais negativa) → a partícula acelera para a esquerda (ganha rapidez no sentido negativo).
-
-
Em
(aprox. ): -
. É um ponto de inflexão para : a concavidade muda de côncava para cima/baixo aqui. - O valor de
neste instante é ainda negativo:
-
-
Intervalo
(aprox. ): -
(ex.: ), a partícula ainda se move para a esquerda. -
(ex.: ), a velocidade está aumentando (isto é, está ficando menos negativa) → a partícula está desacelerando enquanto se move para a esquerda (o módulo da velocidade diminui).
-
-
Em
(aprox. ): -
. O sinal de muda de negativo para positivo, logo a partícula para e inverte o sentido — é um ponto de mínimo local da posição. - Calculando a posição neste instante (usar cálculo exato é útil):
-
-
Intervalo
: -
(ex.: ), a partícula move-se para a direita. -
(ex.: ), a velocidade cresce → a partícula acelera para a direita.
-
Passo 7
Comentário sobre concavidade e inflexão:
- Como
, temos para (função posição côncava para baixo) e para (côncava para cima). O ponto é ponto de inflexão da trajetória.
Passo 8
Conclusões principais (resumo prático que ajuda na hora da prova):
- Velocidade:
- Aceleração:
- Comportamento:
-
: move-se para a direita ( ) e desacelera ( ). -
: para e inverte sentido (máximo local) em . -
: move-se para a esquerda ( ) e acelera para a esquerda ( ). -
: inflexão ( ), concavidade muda. -
: move-se para a esquerda ( ) e desacelera ( ). -
: para e inverte sentido (mínimo local) em . -
: move-se para a direita ( ) e acelera ( ).
-
Resposta
Movimento: