Determine os pontos críticos de cada função, identifique os intervalos em que é crescente ou decrescente. Determine os extremos locais de cada função.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- Determinar os pontos críticos de
. - Identificar os intervalos em que
é crescente ou decrescente. - Determinar os extremos locais de
(se existem) e seus valores.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
- A função está definida para todo
(pois existe para todo real). - Para encontrar pontos críticos precisamos calcular
e resolver e também verificar onde não existe (se for o caso).
Passo 2
Vamos diferenciar a função passo a passo. Para derivar um produto use a regra do produto: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui podemos tomar
e
. Então:
-
. -
(porque a derivada de é mesma).
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
(isto é útil porque
nunca é zero):
Organizando o polinômio:
Passo 3
Para achar pontos críticos resolvemos
e verificamos onde
é indefinida. Observações importantes:
-
para todo , então nunca anula a derivada nem torna a derivada indefinida. - Assim os zeros de
são exatamente os zeros do polinômio .
Resolvendo
. Podemos fatorar:
Portanto as soluções são
Como
existe para todo
, não há outros pontos críticos. Concluímos que os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora determinamos o sinal de
para conhecer monotonicidade. Como
e
, o sinal de
é o sinal do produto
.
Fazendo a análise de sinais por intervalos definidos pelas raízes
e
:
- Para
: temos e , produto . Logo em . - Para
: temos e , produto . Logo em . - Para
: temos e , produto . Logo em .
Portanto:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Passo 5
Determinar os extremos locais usando a variação de sinal de
(teste da primeira derivada):
- Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita), isto é crescimento → decrescimento; isso caracteriza um máximo local em . - Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), isto é decrescimento → crescimento; isso caracteriza um mínimo local em .
Como reforço didático, podemos também usar o teste da segunda derivada. Diferenciando
com a regra do produto:
Avaliações:
logo concavidade para baixo em
confirma máximo local.
logo concavidade para cima em
confirma mínimo local.
Passo 6
Calculamos os valores da função nos pontos críticos para apresentar os extremos com seus valores:
Resposta
Pontos críticos:
e
Crescente em:
e
Decrescente em:
Extremo local: máximo em
com valor
Extremo local: mínimo em
com valor