Determine os pontos críticos de cada função, identifique os intervalos em que é crescente ou decrescente. Determine os extremos locais de cada função.
f(x)=\left(x^{2}-3\right) \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\left(x^{2}-3\right)e^{x},
e pede três coisas:
  • Determinar os pontos críticos de f.
  • Identificar os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
  • Determinar os extremos locais de f (se existem) e seus valores.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (pois e^{x} existe para todo real).
  • Para encontrar pontos críticos precisamos calcular f'(x) e resolver f'(x)=0 e também verificar onde f' não existe (se for o caso).

Passo 2

Vamos diferenciar a função passo a passo. Para derivar um produto use a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui podemos tomar u(x)=x^{2}-3 e v(x)=e^{x}. Então:
  • u'(x)=2x.
  • v'(x)=e^{x} (porque a derivada de e^{x} é e^{x} mesma).
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cdot e^{x}+(x^{2}-3)\cdot e^{x}.
Fatorando e^{x} (isto é útil porque e^{x} nunca é zero):
f'(x)=e^{x}\bigl(2x+x^{2}-3\bigr).
Organizando o polinômio:
f'(x)=e^{x}\bigl(x^{2}+2x-3\bigr).

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvemos f'(x)=0 e verificamos onde f' é indefinida. Observações importantes:
  • e^{x}>0 para todo x, então e^{x} nunca anula a derivada nem torna a derivada indefinida.
  • Assim os zeros de f' são exatamente os zeros do polinômio x^{2}+2x-3.
Resolvendo x^{2}+2x-3=0. Podemos fatorar:
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
Portanto as soluções são
x=-3\quad\text{e}\quad x=1.
Como f' existe para todo x, não há outros pontos críticos. Concluímos que os pontos críticos são x=-3 e x=1.

Passo 4

Agora determinamos o sinal de f'(x) para conhecer monotonicidade. Como f'(x)=e^{x}(x+3)(x-1) e e^{x}>0, o sinal de f' é o sinal do produto (x+3)(x-1).
Fazendo a análise de sinais por intervalos definidos pelas raízes -3 e 1:
  • Para x<-3: temos x+3<0 e x-1<0, produto (x+3)(x-1)>0. Logo f'(x)>0 em (-\infty,-3).
  • Para -3<x<1: temos x+3>0 e x-1<0, produto (x+3)(x-1)<0. Logo f'(x)<0 em (-3,1).
  • Para x>1: temos x+3>0 e x-1>0, produto (x+3)(x-1)>0. Logo f'(x)>0 em (1,\infty).
Portanto:
  • f é crescente em (-\infty,-3) e em (1,\infty).
  • f é decrescente em (-3,1).

Passo 5

Determinar os extremos locais usando a variação de sinal de f' (teste da primeira derivada):
  • Em x=-3 a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita), isto é crescimento → decrescimento; isso caracteriza um máximo local em x=-3.
  • Em x=1 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), isto é decrescimento → crescimento; isso caracteriza um mínimo local em x=1.
Como reforço didático, podemos também usar o teste da segunda derivada. Diferenciando f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x-3) com a regra do produto:
f''(x)=e^{x}(x^{2}+2x-3)+(2x+2)e^{x}=e^{x}\bigl(x^{2}+4x-1\bigr).
Avaliações:
f''(-3)=e^{-3}\bigl(9-12-1\bigr)=e^{-3}(-4)=-4e^{-3}<0,
logo concavidade para baixo em x=-3 confirma máximo local.
f''(1)=e^{1}\bigl(1+4-1\bigr)=4e>0,
logo concavidade para cima em x=1 confirma mínimo local.

Passo 6

Calculamos os valores da função nos pontos críticos para apresentar os extremos com seus valores:
f(-3)=\bigl((-3)^{2}-3\bigr)e^{-3}=(9-3)e^{-3}=6e^{-3}.
f(1)=\bigl(1^{2}-3\bigr)e^{1}=(1-3)e= -2e.

Resposta

Pontos críticos: x=-3 e x=1
Crescente em: (-\infty,-3) e (1,\infty)
Decrescente em: (-3,1)
Extremo local: máximo em x=-3 com valor f(-3)=6e^{-3}
Extremo local: mínimo em x=1 com valor f(1)=-2e

Exercícios relacionados