Determine os valores máximo e mínimo absolutos de cada função:
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Queremos os extremos absolutos (valor máximo e valor mínimo) de
nesse intervalo, e onde eles ocorrem.
Passo 2
Primeiro uma ideia importante (aqui explico como pensar na prova): uma função contínua num intervalo fechado atinge máximo e mínimo absolutos (Teorema de Weierstrass). Então o que precisamos fazer na prática é:
- identificar os pontos críticos dentro do intervalo (pontos onde
ou onde não existe), - avaliar
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo e , - comparar esses valores; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Vou mostrar passo a passo como encontrar os pontos críticos e comparar os valores.
Passo 3
Calcular a derivada para achar os pontos críticos (exceto onde a derivada não existe). Usando a regra da potência: se
com
racional, para
vale
. Aplicando com
temos, para
,
Observe que
não está definida em
(porque
dá divisão por zero). Os pontos críticos são:
- pontos onde
: aqui não ocorre para nenhum (uma constante não nula multiplicando algo não infinito nunca dá zero), então não há soluções desse tipo; - pontos onde
não existe: é um ponto crítico porque a derivada não existe ali.
Portanto o único ponto crítico no interior do intervalo
é
.
Passo 4
Agora avalio a função nos candidatos: os extremos do intervalo
e
, e o ponto crítico
.
Calculemos:
Para
:
(Usei a identidade
, que vale para todos
reais.)
Para
:
Agora comparar os três valores
,
e
. Note que todos são não negativos (porque
). Para comparar
e
é conveniente elevar ao cubo (uma função estritamente crescente para números não negativos):
como
segue
. E claramente
. Então a ordem é
Passo 5
Conclusão: o menor valor (mínimo absoluto) de
no intervalo ocorre em
e vale
. O maior valor (máximo absoluto) ocorre em
e vale
.
Força aí — essa é a estratégia que geralmente funciona em provas: achar pontos críticos (incluindo onde a derivada não existe), avaliar extremos e comparar os valores.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: