Determine os valores máximo e mínimo absolutos de cada função:
f(x)=x^{\frac{2}{3}} no intervalo [-2,3].

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x)=x^{\frac{2}{3}} no intervalo [-2,3].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{\frac{2}{3}}.
  • O intervalo considerado é [-2,3].
  • Queremos os extremos absolutos (valor máximo e valor mínimo) de f nesse intervalo, e onde eles ocorrem.

Passo 2

Primeiro uma ideia importante (aqui explico como pensar na prova): uma função contínua num intervalo fechado atinge máximo e mínimo absolutos (Teorema de Weierstrass). Então o que precisamos fazer na prática é:
  • identificar os pontos críticos dentro do intervalo (pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe),
  • avaliar f nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo x=-2 e x=3,
  • comparar esses valores; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Vou mostrar passo a passo como encontrar os pontos críticos e comparar os valores.

Passo 3

Calcular a derivada para achar os pontos críticos (exceto onde a derivada não existe). Usando a regra da potência: se g(x)=x^{p} com p racional, para x\neq0 vale g'(x)=p\,x^{p-1}. Aplicando com p=\tfrac{2}{3} temos, para x\neq0,
f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\,\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}.
Observe que f'(x) não está definida em x=0 (porque x^{\frac{1}{3}}=0 dá divisão por zero). Os pontos críticos são:
  • pontos onde f'(x)=0: aqui \frac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}}=0 não ocorre para nenhum x\neq0 (uma constante não nula multiplicando algo não infinito nunca dá zero), então não há soluções desse tipo;
  • pontos onde f' não existe: x=0 é um ponto crítico porque a derivada não existe ali.
Portanto o único ponto crítico no interior do intervalo [-2,3] é x=0.

Passo 4

Agora avalio a função nos candidatos: os extremos do intervalo x=-2 e x=3, e o ponto crítico x=0.
Calculemos:
f(0)=0^{\frac{2}{3}}=0.
Para x=-2:
f(-2)=(-2)^{\frac{2}{3}}=\bigl((-2)^2\bigr)^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}.
(Usei a identidade \,x^{\frac{2}{3}}=(x^2)^{\frac{1}{3}}\,, que vale para todos x reais.)
Para x=3:
f(3)=3^{\frac{2}{3}}=(3^2)^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{9}.
Agora comparar os três valores 0, 2^{\frac{2}{3}} e 3^{\frac{2}{3}}. Note que todos são não negativos (porque x^{\frac{2}{3}}=(x^2)^{1/3}\ge0). Para comparar 2^{\frac{2}{3}} e 3^{\frac{2}{3}} é conveniente elevar ao cubo (uma função estritamente crescente para números não negativos):
\bigl(2^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^3 = 2^2 = 4,\qquad \bigl(3^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^3 = 3^2 = 9,
como 4<9 segue 2^{\tfrac{2}{3}}<3^{\tfrac{2}{3}}. E claramente 0<2^{\tfrac{2}{3}}. Então a ordem é
0 < 2^{\tfrac{2}{3}} < 3^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 5

Conclusão: o menor valor (mínimo absoluto) de f no intervalo ocorre em x=0 e vale 0. O maior valor (máximo absoluto) ocorre em x=3 e vale 3^{\tfrac{2}{3}}.
Força aí — essa é a estratégia que geralmente funciona em provas: achar pontos críticos (incluindo onde a derivada não existe), avaliar extremos e comparar os valores.

Resposta

Mínimo absoluto: f_{\min}=0 em x=0
Máximo absoluto: f_{\max}=3^{\frac{2}{3}} em x=3

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