Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), t >= 0. Determine x=x(t), sabendo que
d^2 xd t^2=sen(3 t), v(0)=0, x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a função posição x(t) de uma partícula que se move no eixo x, sabendo que a aceleração é d^2x/dt^2=sin(3t) e que v(0)=0 e x(0)=0. O conteúdo envolvido é cálculo integral: iremos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, integramos a aceleração a(t)=sin(3t) para obter a velocidade v(t). Usamos integração definida de 0 até t para já aplicar a condição v(0)=0:
v(t)=integral0^tsin(3s),ds =l[-tfrac13cos(3s)r]0^t =-tfrac13l(cos(3t)-cos(0)r) =-tfrac13l(cos(3t)-1r) =tfrac13l(1-cos(3t)r)

Passo 3

Em seguida, integramos v(t)=tfrac13(1-cos(3t)) para achar x(t), de novo usando a condição x(0)=0:
x(t)=integral0^tv(s),ds =tfrac13integral0^tl(1-cos(3s)r),ds =tfrac13l[s - tfrac13sin(3s)r]0^t =tfrac13t - tfrac19sin(3t)

Resposta

x(t)=tfrac13t - tfrac19sin(3t).

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