(10 pontot) Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
. Isso está ligado ao estudo de integração, especificamente usando Regra da Substituição ou Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a variável de integração para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar a Regra da Substituição. Essa técnica é útil quando temos uma função dentro de outra, e queremos simplificar a integral substituindo uma parte por uma nova variável. Aqui, vemos
, então uma boa escolha seria deixar
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos achar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculando a derivada:
Agora, resolvemos para
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
para substituir na integral. Como
:
Substituindo
na expressão
:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Observamos que a integral resultante:
não possui uma solução em termos de funções elementares (como polinômios, exponenciais, senos, cossenos, etc.). Isso significa que não podemos expressar a integral de forma fechada usando apenas essas funções básicas.
Resposta
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução é representada pela integral em si ou precisa ser avaliada numericamente se for necessário um valor específico.