(10 pontot) Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral raizx sin (1+x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de raizx sin(1 + x^3) , dx. Isso está ligado ao estudo de integração, especificamente usando Regra da Substituição ou Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a variável de integração para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar a Regra da Substituição. Essa técnica é útil quando temos uma função dentro de outra, e queremos simplificar a integral substituindo uma parte por uma nova variável. Aqui, vemos sin(1 + x^3), então uma boa escolha seria deixar u = 1 + x^3.

Passo 3

Com a substituição u = 1 + x^3, precisamos achar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando a derivada:
dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 dx
Agora, resolvemos para dx:
dx = du3x^2

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral raizx sin(1 + x^3) dx = integral raizx sin(u) cdot du3x^2 = 13 integral raizxx^2 sin(u) du
Simplificando raizxx^2:
raizxx^2 = x^1/2x^2 = x^-3/2
Então, a integral fica:
13 integral x^-3/2 sin(u) du

Passo 5

Agora, precisamos expressar x em termos de u para substituir na integral. Como u = 1 + x^3:
x^3 = u - 1 implies x = (u - 1)^1/3
Substituindo x na expressão x^-3/2:
x^-3/2 = ((u - 1)^1/3)^-3/2 = (u - 1)^-1/2
Então, a integral agora é:
13 integral (u - 1)^-1/2 sin(u) du

Passo 6

Observamos que a integral resultante:
integral (u - 1)^-1/2 sin(u) du
não possui uma solução em termos de funções elementares (como polinômios, exponenciais, senos, cossenos, etc.). Isso significa que não podemos expressar a integral de forma fechada usando apenas essas funções básicas.

Resposta

A integral integral raizx sin(1 + x^3) , dx não pode ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução é representada pela integral em si ou precisa ser avaliada numericamente se for necessário um valor específico.

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