Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
.
a) Calcule o deslocamento entre
e
.
b) Calcule a velocidade média entre
e
.
a) Calcule o deslocamento entre
b) Calcule a velocidade média entre
Passo 1
O enunciado dá a velocidade de uma partícula em função do tempo e pede duas coisas. Informações e perguntas extraídas do enunciado:
- A velocidade é
, definida para . - O tempo é medido em segundos; por convenção em física usamos o Sistema Internacional, então assumimos que a velocidade está em metros por segundo (
) e o deslocamento estará em metros ( ). - Pergunta (a): Calcular o deslocamento entre
e . - Pergunta (b): Calcular a velocidade média entre
e .
Passo 2
Entendendo o que é “deslocamento”: o deslocamento entre dois instantes de tempo é a variação da posição
nesse intervalo. A ligação entre velocidade e deslocamento é:
ou seja, integramos a função velocidade sobre o intervalo de tempo. Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula do deslocamento ao nosso caso, escrevemos a integral que precisamos calcular:
Explicando a notação:
indica que estamos somando infinitesimais de área (velocidade vezes tempo) de
até
;
é a função velocidade dentro da integral;
indica que a integração é em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Relembrando regras básicas de integração:
- A primitiva de
é . - A primitiva de uma constante
é . - A primitiva de uma soma é a soma das primitivas.
Assim, uma primitiva de
é
.
Uma primitiva de é
.
Portanto, uma primitiva de é
Uma primitiva de
Portanto, uma primitiva de
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos a primitiva nos extremos do intervalo e subtraímos:
Calculando
e
:
Logo,
Passo 6
Interpretação do sinal e unidades: o resultado
significa que a partícula \emph{se deslocou 14 metros no sentido negativo do eixo
} entre
e
. Em unidades:
Passo 7
Agora a velocidade média. Existem duas maneiras equivalentes de defini-la:
- Definição via deslocamento:
onde
.
2. Definição via integral:
2. Definição via integral:
que é igual à primeira porque a integral dá
.
Passo 8
Aplicando a definição com os valores do problema:
. Usando o deslocamento calculado,
Em unidades:
Passo 9
Como checagem rápida (útil na prova): para uma função velocidade linear
, a velocidade média num intervalo
é exatamente a média aritmética dos valores nos extremos:
Aqui
e
. A média é
, que coincide com o resultado obtido antes — bom sinal de que está correto.