Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=4 t-20, t \geq 0.
a) Calcule o deslocamento entre \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.
b) Calcule a velocidade média entre \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula em função do tempo e pede duas coisas. Informações e perguntas extraídas do enunciado:
  • A velocidade é v(t)=4t-20, definida para t\ge 0.
  • O tempo é medido em segundos; por convenção em física usamos o Sistema Internacional, então assumimos que a velocidade está em metros por segundo ( \text{m/s}) e o deslocamento estará em metros ( \text{m}).
  • Pergunta (a): Calcular o deslocamento entre t=1\\ \text{s} e t=2\\ \text{s}.
  • Pergunta (b): Calcular a velocidade média entre t=1\\ \text{s} e t=2\\ \text{s}.

Passo 2

Entendendo o que é “deslocamento”: o deslocamento entre dois instantes de tempo é a variação da posição x(t) nesse intervalo. A ligação entre velocidade e deslocamento é:
\Delta x=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt,
ou seja, integramos a função velocidade sobre o intervalo de tempo. Aqui t_1=1 e t_2=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula do deslocamento ao nosso caso, escrevemos a integral que precisamos calcular:
\Delta x=\int_{1}^{2} \bigl(4t-20\bigr)\,dt.
Explicando a notação: \int_{1}^{2} indica que estamos somando infinitesimais de área (velocidade vezes tempo) de t=1 até t=2; 4t-20 é a função velocidade dentro da integral; dt indica que a integração é em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de v(t)=4t-20. Relembrando regras básicas de integração:
  • A primitiva de t é \tfrac{1}{2}t^2.
  • A primitiva de uma constante a é a t.
  • A primitiva de uma soma é a soma das primitivas.
Assim, uma primitiva de 4t é 4\cdot \tfrac{1}{2}t^2=2t^2.
Uma primitiva de -20 é -20t.
Portanto, uma primitiva de 4t-20 é
F(t)=2t^2-20t.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos a primitiva nos extremos do intervalo e subtraímos:
\Delta x=F(2)-F(1).
Calculando F(2) e F(1):
F(2)=2\cdot 2^2-20\cdot 2=2\cdot 4-40=8-40=-32,
F(1)=2\cdot 1^2-20\cdot 1=2-20=-18.
Logo,
\Delta x = (-32)-(-18) = -32+18 = -14.

Passo 6

Interpretação do sinal e unidades: o resultado \Delta x=-14 significa que a partícula \emph{se deslocou 14 metros no sentido negativo do eixo x} entre t=1\\ \text{s} e t=2\\ \text{s}. Em unidades:
\Delta x = -14\\ \text{m}.

Passo 7

Agora a velocidade média. Existem duas maneiras equivalentes de defini-la:
  1. Definição via deslocamento:
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t},
onde \Delta t=t_2-t_1.
2. Definição via integral:
\bar{v}=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt,
que é igual à primeira porque a integral dá \Delta x.

Passo 8

Aplicando a definição com os valores do problema: \Delta t=2-1=1\\ \text{s}. Usando o deslocamento calculado,
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-14}{1}=-14.
Em unidades:
\bar{v}=-14\\ \text{m/s}.

Passo 9

Como checagem rápida (útil na prova): para uma função velocidade linear v(t)=at+b, a velocidade média num intervalo [t_1,t_2] é exatamente a média aritmética dos valores nos extremos:
\bar{v}=\frac{v(t_1)+v(t_2)}{2}.
Aqui v(1)=4\cdot 1-20=-16 e v(2)=4\cdot 2-20=-12. A média é \tfrac{-16+(-12)}{2}=\tfrac{-28}{2}=-14, que coincide com o resultado obtido antes — bom sinal de que está correto.

Resposta

\Delta x=-14\\ \text{m}
\bar{v}=-14\\ \text{m/s}

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