Questão 4 ( 2,5 pontos) - Um carro de policia se move a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em direção ao portão da casa de um bandido. A sirene da policia emite uma onda senoidal com frequência de 300 Hz que é refletida pelo portão. Qula é a frequência do som refletido pelo portão que o motorista do carro ouve?

Passo 1

O enunciado diz: um carro de polícia se move a 30\\ \mathrm{m/s} em direção ao portão. A sirene emite uma onda senoidal com frequência 300\\ \mathrm{Hz} que é refletida pelo portão. A pergunta é: qual é a frequência do som refletido que o motorista do carro ouve?
Dados extraídos do enunciado:
  • velocidade do carro: v_{\text{carro}} = 30\\ \mathrm{m/s}
  • frequência emitida pela sirene (fonte): f = 300\\ \mathrm{Hz}
  • o som é refletido por um portão estacionário
Observação necessária (porque o enunciado não deu): vou assumir a velocidade do som no ar como \;v = 340\\ \mathrm{m/s}\; (valor padrão usado em exercícios). Se você usar outro valor para v, o procedimento é o mesmo, só muda o número final.

Passo 2

Entender fisicamente o que acontece (passo-a-passo mental):
  1. A sirene (fonte) está se movendo em direção ao portão. Pelo efeito Doppler, o portão (que é um observador estacionário) recebe uma frequência diferente da emitida.
  2. O portão reflete o som; a onda refletida tem a mesma frequência que a que incidiu sobre o portão (no referencial do ar), então o portão passa a reemitir essa frequência para o ar como se fosse uma fonte estacionária.
  3. O motorista, que está se movendo em direção ao portão, agora é um observador móvel que recebe a onda refletida e aplica novamente o efeito Doppler (observador em movimento).
Portanto há duas etapas Doppler: (i) fonte em movimento → frequência no portão, (ii) portão (fonte estacionária da reflexão) → observador em movimento (motorista).

Passo 3

Apresentação das fórmulas do efeito Doppler (explicando cada termo):
  • Fórmula para o caso “fonte se move em direção ao observador estacionário”:
\;f_{\text{inc}} = f \cdot \frac{v}{v - v_s}\;
onde:
  • f é a frequência emitida pela fonte original (sirene),
  • v é a velocidade do som no meio (ar),
  • v_s é a velocidade da fonte em direção ao observador (positivo se se aproximando),
  • f_{\text{inc}} é a frequência que o observador estacionário (o portão) “recebe”.
Essa fórmula vem do fato de que, quando a fonte se aproxima, as cristas das ondas são emitidas mais próximas no tempo e ficam mais comprimidas no espaço à frente, aumentando a frequência percebida.
  • Fórmula para o caso “observador se move em direção a uma fonte estacionária”:
\;f_{\text{obs}} = f_{\text{fonte}} \cdot \frac{v + v_o}{v}\;
onde:
  • f_{\text{fonte}} é a frequência da fonte (aqui será a frequência refletida pelo portão),
  • v_o é a velocidade do observador em direção à fonte (positivo se se aproximando),
  • f_{\text{obs}} é a frequência que o observador móvel (motorista) ouve.
Em nosso problema, v_s e v_o são ambos 30\\ \mathrm{m/s}, porque a fonte e o observador são o mesmo carro (o carro se aproxima do portão e depois ouve a reflexão enquanto se aproxima).

Passo 4

Aplicar a primeira etapa: calcular a frequência que incide no portão (portão como observador estacionário) usando \;f_{\text{inc}} = f \cdot \dfrac{v}{v - v_s}\;.
Substituindo simbolicamente:
\;f_{\text{inc}} = 300 \cdot \frac{v}{v - 30}\;.
Aqui mantemos v simbólico para depois simplificar a expressão combinada.

Passo 5

Explicar a reflexão e a segunda etapa: o portão reflete o som com a mesma frequência \;f_{\text{inc}}\; (no ar), então o portão age como uma fonte estacionária que emite \;f_{\text{inc}}\;. O motorista (observador) se aproxima dessa “fonte” com velocidade v_o = 30\\ \mathrm{m/s}, então ele ouve:
\;f_{\text{ouvida}} = f_{\text{inc}} \cdot \frac{v + v_o}{v}\;.
Substituindo f_{\text{inc}} da etapa anterior:
\;f_{\text{ouvida}} = \left( f \cdot \frac{v}{v - v_s} \right) \cdot \frac{v + v_o}{v}\;.
Os v no numerador e denominador se cancelam parcialmente, ficando a expressão combinada simples:
\;f_{\text{ouvida}} = f \cdot \frac{v + v_o}{v - v_s}\;.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos: f = 300\\ \mathrm{Hz}, v_o = v_s = 30\\ \mathrm{m/s}, v = 340\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro escrevemos a fração:
\;f_{\text{ouvida}} = 300 \cdot \frac{340 + 30}{340 - 30} = 300 \cdot \frac{370}{310}\;.
Simplificando a fração: \dfrac{370}{310} = \dfrac{37}{31}.
Então:
\;f_{\text{ouvida}} = 300 \cdot \frac{37}{31} = \frac{11100}{31}\;.

Passo 7

Calcular o valor numérico da fração:
\dfrac{11100}{31} \approx 358{,}064516\ldots\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para duas casas decimais (ou para inteiro, conforme preferência de apresentação), temos aproximadamente \;358{,}06\\ \mathrm{Hz}\; (ou \;358\\ \mathrm{Hz}\; se preferir arredondar para inteiro).

Resposta

358{,}06\\ \mathrm{Hz}

Exercícios relacionados