2uestão 1 (2 pontos) 0,9
Uma peça metálica cilindrica de raio
e comprimento
tem um furo passante de raio
. O valor de massa medido para a peça é de
.
(a) ( 1 ponto) Calcule a densidade da peça metálica e seu respectivo erro.
(b) (1 ponto) Calcule o’ volume da peça metálica e seu respectivo erro.
Observação: expresse em todos os resultados finais a quantidade correta de casas decimais significativas.
(a) ( 1 ponto) Calcule a densidade da peça metálica e seu respectivo erro.
(b) (1 ponto) Calcule o’ volume da peça metálica e seu respectivo erro.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (estou apenas listando o que o problema fornece e o que pede):
Perguntas:
- (a) Calcular a densidade da peça metálica e seu erro.
- (b) Calcular o volume da peça metálica e seu erro.
Observação: há um furo passante de raio
; portanto o volume é o volume do cilindro externo menos o do cilindro do furo.
Passo 2
Fórmula do volume (usando as grandezas como dadas em centímetros): o volume de um cilindro é
. Como temos um cilindro com furo central,
Vou calcular primeiro o valor central do volume em
. Substituindo os valores centrais fornecidos (estou pegando estes números do enunciado):
Calculando numericamente,
Se preferir em
(SI):
, então
Passo 3
Agora vamos aprender a propagar o erro do volume. Para uma função
com erros independentes pequenos, a variância (erro ao quadrado) é
Isto vem da expansão linear (primeira ordem) de
e do fato de que os erros são independentes. Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo os valores numéricos (aqui uso unidades
e
para consistência com os erros dados):
Os erros dados (todos em
) são
,
,
.
Agora a soma das contribuições:
Agora a soma das contribuições:
Calculei numericamente:
Portanto
Em
isso é
Passo 4
Resumo numérico do volume e erro (valores centrais calculados e erros obtidos por propagação):
Passo 5
Agora calculamos a densidade e seu erro. A densidade é
Explicando a propagação para
: como
, a propagação dá (erros independentes)
Isto deriva diretamente da fórmula geral (ou fazendo as derivadas parciais e fatorando
). Primeiro o valor central (uso
em
para obter
em
; o
já está em
):
Calculemos as frações relativas:
Logo
Portanto
Passo 6
Escolha de casas significativas e arredondamento (regra prática e recomendação):
- Para o erro normalmente usamos 1 ou 2 algarismos significativos; aqui vou manter dois algarismos significativos em
e em e arredondar o valor central na mesma ordem. - Para o volume em
: → com dois dígitos significativos fica . Assim o volume central deve ser dado na mesma ordem: (arredondado para o dígito dos ). - Para a densidade:
→ com dois dígitos significativos fica . Arredondando o valor central para a mesma ordem (dezenas) dá .
Se preferir manter mais dígitos no erro (um pouco mais preciso), poderíamos escrever. Ambas as notações são aceitas; abaixo escolho a forma com arredondamento consistente a dois dígitos no erro.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)