2uestão 1 (2 pontos) 0,9

Uma peça metálica cilindrica de raio R=10,00 \pm 0,05 \mathrm{~cm} e comprimento L=15,00 \pm 0,05 \mathrm{~cm} tem um furo passante de raio r=5,00 \pm 0,05 \mathrm{~cm}. O valor de massa medido para a peça é de 27,57 \pm 0,01 \mathrm{Kg}.
(a) ( 1 ponto) Calcule a densidade da peça metálica e seu respectivo erro.
(b) (1 ponto) Calcule o’ volume da peça metálica e seu respectivo erro.
Observação: expresse em todos os resultados finais a quantidade correta de casas decimais significativas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (estou apenas listando o que o problema fornece e o que pede):
R=10{,}00\pm0{,}05\\ \mathrm{cm},
r=5{,}00\pm0{,}05\\ \mathrm{cm},
L=15{,}00\pm0{,}05\\ \mathrm{cm},
m=27{,}57\pm0{,}01\\ \mathrm{kg}.
Perguntas:
  1. (a) Calcular a densidade da peça metálica e seu erro.
  2. (b) Calcular o volume da peça metálica e seu erro.
Observação: há um furo passante de raio r; portanto o volume é o volume do cilindro externo menos o do cilindro do furo.

Passo 2

Fórmula do volume (usando as grandezas como dadas em centímetros): o volume de um cilindro é \pi \times (\text{área da base}) \times (\text{altura})á. Como temos um cilindro com furo central,
V=\pi L\left(R^{2}-r^{2}\right).
Vou calcular primeiro o valor central do volume em \mathrm{cm^{3}}. Substituindo os valores centrais fornecidos (estou pegando estes números do enunciado):
R^{2}-r^{2}=10{,}00^{2}-5{,}00^{2}=100{,}00-25{,}00=75{,}00\\ \mathrm{cm^{2}},
V=\pi\times 15{,}00\times 75{,}00=1125{,}00\pi\\ \mathrm{cm^{3}}.
Calculando numericamente,
V\approx 1125{,}00\times 3{,}1415926535\approx 3534{,}291735\\ \mathrm{cm^{3}}.
Se preferir em \mathrm{m^{3}} (SI): 1\\ \mathrm{cm^{3}}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}, então
V\approx 0{,}003534291735\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Agora vamos aprender a propagar o erro do volume. Para uma função V(L,R,r) com erros independentes pequenos, a variância (erro ao quadrado) é
\sigma_{V}^{2}=\left(\frac{\partial V}{\partial L}\right)^{2}\sigma_{L}^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial R}\right)^{2}\sigma_{R}^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial r}\right)^{2}\sigma_{r}^{2}.
Isto vem da expansão linear (primeira ordem) de V e do fato de que os erros são independentes. Vamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial L}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right),
\frac{\partial V}{\partial R}=2\pi L R,
\frac{\partial V}{\partial r}=-2\pi L r.
Substituindo os valores numéricos (aqui uso unidades \mathrm{cm} e \mathrm{cm^{3}} para consistência com os erros dados):
\frac{\partial V}{\partial L}=\pi\times 75{,}00\approx 235{,}619449\\ \mathrm{cm^{2}},
\frac{\partial V}{\partial R}=2\pi\times 15{,}00\times 10{,}00=300\pi\approx 942{,}477796\\ \mathrm{cm^{2}},
\frac{\partial V}{\partial r}=-2\pi\times 15{,}00\times 5{,}00=-150\pi\approx -471{,}238898\\ \mathrm{cm^{2}}.
Os erros dados (todos em \mathrm{cm}) são \sigma_{L}=0{,}05\\ \mathrm{cm}, \sigma_{R}=0{,}05\\ \mathrm{cm}, \sigma_{r}=0{,}05\\ \mathrm{cm}.
Agora a soma das contribuições:
\sigma_{V}^{2}=(235{,}619449)^{2}(0{,}05)^{2}+(942{,}477796)^{2}(0{,}05)^{2}+(471{,}238898)^{2}(0{,}05)^{2}.
Calculei numericamente:
\sigma_{V}^{2}\approx 1\,165\,847{,}0199\times 0{,}0025\approx 2914{,}61755\\ (\mathrm{cm^{3}})^{2}.
Portanto
\sigma_{V}\approx \sqrt{2914{,}61755}\approx 53{,}97015\\ \mathrm{cm^{3}}.
Em \mathrm{m^{3}} isso é
\sigma_{V}\approx 53{,}97015\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0{,}00005397015\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Resumo numérico do volume e erro (valores centrais calculados e erros obtidos por propagação):
V=(3534{,}291735\pm 53{,}97015)\\ \mathrm{cm^{3}},
V=(0{,}003534291735\pm 0{,}00005397015)\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Agora calculamos a densidade e seu erro. A densidade é
\rho=\frac{m}{V}.
Explicando a propagação para \rho: como \rho=mV^{-1}, a propagação dá (erros independentes)
\left(\frac{\sigma_{\rho}}{\rho}\right)^{2}=\left(\frac{\sigma_{m}}{m}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2}.
Isto deriva diretamente da fórmula geral (ou fazendo as derivadas parciais e fatorando \rho^{2}). Primeiro o valor central (uso V em \mathrm{m^{3}} para obter \rho em \mathrm{kg/m^{3}}; o m já está em \mathrm{kg}):
\rho=\frac{27{,}57}{0{,}003534291735}\approx 7803{,}987\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calculemos as frações relativas:
\frac{\sigma_{m}}{m}=\frac{0{,}01}{27{,}57}\approx 0{,}0003626,
\frac{\sigma_{V}}{V}=\frac{0{,}00005397015}{0{,}003534291735}\approx 0{,}0152789.
Logo
\frac{\sigma_{\rho}}{\rho}=\sqrt{(0{,}0003626)^{2}+(0{,}0152789)^{2}}\approx 0{,}0152910.
Portanto
\sigma_{\rho}=\rho\times 0{,}0152910\approx 7803{,}987\times 0{,}0152910\approx 119{,}34\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Escolha de casas significativas e arredondamento (regra prática e recomendação):
  • Para o erro normalmente usamos 1 ou 2 algarismos significativos; aqui vou manter dois algarismos significativos em \sigma_{\rho} e em \sigma_{V} e arredondar o valor central na mesma ordem.
  • Para o volume em \mathrm{m^{3}}: \sigma_{V}\approx 0{,}00005397015\\ \mathrm{m^{3}} → com dois dígitos significativos fica 0{,}000054\\ \mathrm{m^{3}}. Assim o volume central deve ser dado na mesma ordem: V=0{,}003534\\ \mathrm{m^{3}} (arredondado para o dígito dos 10^{-6}).
  • Para a densidade: \sigma_{\rho}\approx 119{,}34\\ \mathrm{kg/m^{3}} → com dois dígitos significativos fica 120\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Arredondando o valor central para a mesma ordem (dezenas) dá \rho\approx 7800\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    Se preferir manter mais dígitos no erro (um pouco mais preciso), poderíamos escrever \rho=7804\pm119\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Ambas as notações são aceitas; abaixo escolho a forma com arredondamento consistente a dois dígitos no erro.

Resposta

(a) \rho=7800\pm120\\ \mathrm{kg/m^{3}}\n
(b) V=0{,}003534\pm0{,}000054\\ \mathrm{m^{3}}

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