Uma partícula desloca-se no eixo x ,partindo do repouso em x=0 ,e tem sua aceleração dada pela seguinte relação a(x)=90-6 x^{2} ,onde x é dado em metros e a é dado em \frac{m}{s^{2}}
A posição em que a particula muda o sentido do movimento é um número entre:
(A) 1 e 2 .
(B) 2 e 3 .
(C) 3 e 4 .
(D) 5 e 6 .
(E) 6 e 7 .
\begin{aligned} & \text { um número entre: } \int a d x \\\ & a=\frac{d v}{d x} \rightarrow 0 \\\ & g=\int 90-6 x^{2}=90 x-2 x^{3}+4 \end{aligned}ú
g(x)=90 \pi-2 x^{3}
\begin{aligned} & \sigma_{m} \Rightarrow 0=90 x-6 x^{2} \\\ & 6 x^{2}=90 \rightarrow x^{2}=15 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a aceleração dependente da posição
a(x)=90-6x^{2}
e pede o ponto em que a partícula, saindo de repouso em x=0, inverte o sentido do movimento.
Conteúdo: usar a relação
a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}
para obter v(x) e achar onde v=0 (além de x=0).

Passo 2

Reescrevendo a em termos de v e x:
v\frac{dv}{dx}=90-6x^{2}.
Separamos variáveis e integramos de x=0 (onde v=0) até uma posição genérica x:
\int_{0}^{v}v\,dv=\int_{0}^{x}(90-6x^{2})\,dx.

Passo 3

Calculamos as integrais:
\int_{0}^{v}v\,dv=\frac{1}{2}v^{2},
\int_{0}^{x}(90-6x^{2})\,dx =\Bigl[90x-2x^{3}\Bigr]_{0}^{x} =90x-2x^{3}.
Logo,
\frac{1}{2}v^{2}=90x-2x^{3} \quad\Longrightarrow\quad v^{2}=180x-4x^{3}.

Passo 4

Para inverter o movimento precisamos de v=0 em x\neq0. Assim,
v^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 180x-4x^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x\,(45-x^{2})=0.
Descartando x=0, vem
x^{2}=45 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{45}\approx6{,}7.

Resposta

A partícula muda de sentido em x\approx6{,}7, ou seja, a alternativa é (E) um número entre 6 e 7.

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