Uma partícula se encontra no estado fundamental em um poço quadrado infinito cujo potencial é dado pela Eq. 6-21. Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada no intervalo De em (a) x=L / 2 ;(b) x=2 L / 3 ;(c) x=L. (Como De é muito pequeno, não é necessário executar nenhuma integracão.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de encontrar uma partícula, que está no estado fundamental, em certos pontos dentro de um poço quadrado infinito. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidades associadas a elas. Para resolver, vamos precisar da função de onda do estado fundamental e entender como calcular a probabilidade em um intervalo bem pequenininho, Δx.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda no estado fundamental para um poço quadrado infinito. Ela é dada por:
psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
Aqui, $ L $ é o comprimento do poço, e $ x $ varia de 0 a $ L $.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em um certo intervalo é dada pelo quadrado da função de onda. Então, a densidade de probabilidade é:
|psi1(x)|^2 = (raiz2L sin(pi xL))^2 = 2L sin^2(pi xL)

Passo 4

Como o intervalo Δx é muito pequeno, a probabilidade de encontrar a partícula nesse intervalo é aproximadamente:
P(x) approx |psi1(x)|^2 cdot De

Passo 5

Agora, vamos calcular essa probabilidade para cada um dos pontos pedidos:

(a) $ x = \frac{L}{2} $

Substituindo na fórmula:
x = L2
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
P(L2) = 2L sin^2(pi (L2)L) cdot 0,002L = 2L sin^2(pi2) cdot 0,002L

Passo 6

(b) $ x = \frac{2L}{3} $

Substituindo na fórmula:
x = 2L3
Sabemos que $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
P(2L3) = 2L sin^2(pi (2L3)L) cdot 0,002L = 2L sin^2(2pi3) cdot 0,002L
Assim,
sin(2pi3) = raiz32

Passo 7

© $ x = L $

Substituindo na fórmula:
x = L
Sabemos que $ \sin(\pi) = 0 $, então:
P(L) = 2L sin^2(pi LL) cdot 0,002L = 2L sin^2(pi) cdot 0,002L

Resposta

(a) A probabilidade é 0,004.
(b) A probabilidade é 0,003.
© A probabilidade é 0.

Exercícios relacionados