Uma partícula se encontra no estado fundamental em um poço quadrado infinito cujo potencial é dado pela Eq. 6-21. Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada no intervalo
em
. (Como
é muito pequeno, não é necessário executar nenhuma integracão.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de encontrar uma partícula, que está no estado fundamental, em certos pontos dentro de um poço quadrado infinito. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidades associadas a elas. Para resolver, vamos precisar da função de onda do estado fundamental e entender como calcular a probabilidade em um intervalo bem pequenininho, Δx.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda no estado fundamental para um poço quadrado infinito. Ela é dada por:
Aqui, $ L $ é o comprimento do poço, e $ x $ varia de 0 a $ L $.
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula em um certo intervalo é dada pelo quadrado da função de onda. Então, a densidade de probabilidade é:
Passo 4
Como o intervalo Δx é muito pequeno, a probabilidade de encontrar a partícula nesse intervalo é aproximadamente:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa probabilidade para cada um dos pontos pedidos:
(a) $ x = \frac{L}{2} $
Substituindo na fórmula:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
Passo 6
(b) $ x = \frac{2L}{3} $
Substituindo na fórmula:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Assim,
Passo 7
© $ x = L $
Substituindo na fórmula:
Sabemos que $ \sin(\pi) = 0 $, então:
Resposta
(a) A probabilidade é 0,004.
(b) A probabilidade é 0,003.
© A probabilidade é 0.