Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma série e quer saber se ela converge ou diverge. O enunciado é:
. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, como o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Note que
é igual a
, porque qualquer número à primeira raiz é ele mesmo. Então, o denominador fica
.
Passo 3
Então, o termo geral simplificado é:
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo à medida que
cresce.
Passo 4
Podemos observar que, para valores grandes de
, o termo
domina em relação a
. Então, para simplificar, vamos comparar nossa série com uma série mais simples, onde o termo geral é aproximadamente
.
Passo 5
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que diverge. Então, se conseguirmos mostrar que nosso termo é maior ou igual a um múltiplo de
, podemos concluir algo sobre a nossa série original.
Passo 6
Vamos ver uma desigualdade:
Portanto:
Passo 7
Isso nos leva a:
Como a série harmônica
diverge, então
vezes ela também diverge.
Passo 8
Pelo teste da comparação, se a nossa série original é maior ou igual a uma série que diverge, isso significa que a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.