Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty 12 raizn+raiz[1]n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma série e quer saber se ela converge ou diverge. O enunciado é: sumn=1^infty 12 raizn+raiz[1]n. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, como o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Note que raiz[1]n é igual a n, porque qualquer número à primeira raiz é ele mesmo. Então, o denominador fica 2raizn + n.

Passo 3

Então, o termo geral simplificado é:
12raizn + n
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo à medida que n cresce.

Passo 4

Podemos observar que, para valores grandes de n, o termo n domina em relação a 2raizn. Então, para simplificar, vamos comparar nossa série com uma série mais simples, onde o termo geral é aproximadamente 1n.

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, que diverge. Então, se conseguirmos mostrar que nosso termo é maior ou igual a um múltiplo de 1n, podemos concluir algo sobre a nossa série original.

Passo 6

Vamos ver uma desigualdade:
2raizn + n <= n + n = 2n
Portanto:
12raizn + n >= 12n

Passo 7

Isso nos leva a:
sumn=1^infty 12raizn + n >= sumn=1^infty 12n = 12 sumn=1^infty 1n
Como a série harmônica sum 1n diverge, então 12 vezes ela também diverge.

Passo 8

Pelo teste da comparação, se a nossa série original é maior ou igual a uma série que diverge, isso significa que a nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 12 raizn+raiz[1]n diverge.

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