Uma partícula encontra-se no estado |\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot\left[\begin{array}{l}2 \\\ i\end{array}\right]
a) Encontre a probabilidade de encontrar a particula no estadc spin-up e no estado spin-down.
b) Faça o mesmo na direção y.

Passo 1

O enunciado dá o estado de spin de uma partícula de spin 1/2 no básico z como
|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\[6pt] i \end{pmatrix}.
O que se pede é (a) as probabilidades de medir spin-up e spin-down no eixo z e (b) as mesmas probabilidades para o eixo y. Vamos usar a regra de Born, segundo a qual a probabilidade de obter um autovalor é o módulo quadrado do coeficiente de projeção nesse autoestado.]

Passo 2

Para medir no eixo z, os autoestados são
|\uparrow_z\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] 0 \end{pmatrix}, \quad |\downarrow_z\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[3pt] 1 \end{pmatrix}.
A amplitude para spin-up em z é
\langle \uparrow_z|\Psi\rangle = \frac{2}{\sqrt{5}},
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P_{\uparrow_z} = \bigl|\langle \uparrow_z|\Psi\rangle\bigr|^2 = \frac{4}{5}.
A amplitude para spin-down em z é
\langle \downarrow_z|\Psi\rangle = \frac{i}{\sqrt{5}},
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P_{\downarrow_z} = \bigl|\langle \downarrow_z|\Psi\rangle\bigr|^2 = \frac{1}{5}.]

Passo 3

Para medir no eixo y, os autoestados de \sigma_y (normalizados) são
|+y\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] i \end{pmatrix}, \quad |-y\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] -\,i \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos as projeções em y e as probabilidades:
\langle +y|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1^*\cdot\tfrac{2}{\sqrt{5}} + (-i)^*\cdot\tfrac{i}{\sqrt{5}}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(2 + 1\bigr) = \frac{3}{\sqrt{10}},
P_{+y} = \bigl|\langle +y|\Psi\rangle\bigr|^2 = \frac{9}{10}.
\langle -y|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(1^*\cdot\tfrac{2}{\sqrt{5}} + i^*\cdot\tfrac{i}{\sqrt{5}}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(2 -1\bigr) = \frac{1}{\sqrt{10}},
P_{-y} = \bigl|\langle -y|\Psi\rangle\bigr|^2 = \frac{1}{10}.

Resposta

(a) P_{\uparrow_z} = \tfrac{4}{5}, P_{\downarrow_z} = \tfrac{1}{5}.
(b) P_{+y} = \tfrac{9}{10}, P_{-y} = \tfrac{1}{10}.

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