Questão 4 -(2 pontos) Uma chapa fina metálica de comprimento L consiste em um pêndulo físico de momento de inércia dado por \mathrm{lcm}=M L^{2} / 12. Calcule o período de oscilação deste pêndulo quando ele oscila em torno de um eixo paralelo ao que possui o momento de inércia I=M L 2 / 12 porém à uma distância de L / 3 do centro de massa.
Um oscilador massa-mola executa um movimento com amplitude que diminui em relação ao início do movimento ( t=0 s) sabendo que:
x(t)=3 e^{-0.5 t} \cos (2 \pi . t)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, uma chapa metálica de comprimento L comporta-se como pêndulo físico de momento de inércia em torno do seu centro de massa
I_{\rm cm} = \frac{M L^2}{12}
e queremos o período de pequenas oscilações quando o eixo de rotação está a uma distância d = L/3 do centro de massa (e paralelo ao eixo original). Em segundo lugar, há um oscilador massa-mola amortecido livre cuja solução é
x(t) = 3\,e^{-0{,}5\,t}\cos\bigl(2\pi\,t\bigr)
e precisamos achar a frequência f (em Hz) de uma força externa para a qual a amplitude no regime forçado seja máxima (ressonância).

Passo 2

Para o pêndulo físico, usamos o teorema dos eixos paralelos (Steiner): o momento de inércia em torno do novo eixo é
I = I_{\rm cm} + M d^2 = \frac{M L^2}{12} + M\left(\frac{L}{3}\right)^2 = ML^2\Bigl(\tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{9}\Bigr) = \frac{7\,M L^2}{36}.
O torque restaurador para pequeno ângulo \theta é \tau \approx - M g\,d\,\theta = -M g\,(L/3)\,\theta. A equação de movimento fica
I\,\ddot\theta + M g\,\frac{L}{3}\,\theta = 0 \;\Longrightarrow\; \omega^2 = \frac{M g\,(L/3)}{I} = \frac{\frac{M g L}{3}}{\frac{7 M L^2}{36}} = \frac{36\,g}{21\,L} = \frac{12\,g}{7\,L}.

Passo 3

O período de oscilação do pêndulo é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{7\,L}{12\,g}}.

Passo 4

No oscilador massa-mola amortecido livre, reconhecemos a forma padrão
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos(\Omega\,t)
onde \gamma=0{,}5 (coeficiente de amortecimento) e \Omega=2\pi rad/s (frequência angular de oscilação amortecida). A frequência natural não amortecida é
\omega_0=\sqrt{\Omega^2+\gamma^2} =\sqrt{(2\pi)^2+(0{,}5)^2}.

Passo 5

Para um oscilador forçado com amortecimento leve, a condição de máxima amplitude (ressonância) ocorre em
\omega_{\rm res}=\sqrt{\omega_0^2-2\,\gamma^2}.
Então a frequência em hertz é
f_{\rm res}=\frac{\omega_{\rm res}}{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\,(2\pi)^2+(0{,}5)^2-2\,(0{,}5)^2\,} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-0{,}5}.

Passo 6

Calculando numericamente,
4\pi^2\approx39{,}478,\quad 4\pi^2-0{,}5\approx38{,}978,\quad \omega_{\rm res}\approx\sqrt{38{,}978}\approx6{,}244\text{ rad/s},
f_{\rm res}\approx\frac{6{,}244}{2\pi}\approx0{,}994\text{ Hz}\approx1{,}0\text{ Hz}.

Resposta

Período do pêndulo físico:
T = 2\pi\sqrt{\frac{7\,L}{12\,g}}.
Frequência de ressonância do oscilador massa-mola:
f_{\rm res}\approx1{,}0\text{ Hz}.

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