Questão 3 - (2 pontos) Um oscilador massa-mola vertical foi construído com uma mola cuja constante elástica k foi determinada como sendo k=16 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa do oscilador é m=250 \mathrm{~g}. (a) Determine o periodo deste oscilador; (b) Sugira uma forma de alterar o periodo para que se torne igual a 1 segundo, seja alterando a mola (alterando a constante elástica) ou a massa.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola vertical com constante elástica \,k=16,N/m e massa \,m=250,g. Queremos (a) o período natural desse oscilador e (b) sugerir como alterar o período para que ele passe a valer exatamente 1 s. Vamos usar a fórmula do período do movimento harmônico simples:
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Passo 2

Antes de aplicar a fórmula, convertemos a massa para o SI:
m = 250\text{ g} = 0{,}250\text{ kg}.
Agora substituímos em
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}250}{16}}.

Passo 3

Calculamos o valor numérico:
\frac{0{,}250}{16} = 0{,}015625, \quad \sqrt{0{,}015625} = 0{,}125, \quad T = 2\pi \times 0{,}125 = 0{,}25\pi \approx 0{,}7854\text{ s}.

Passo 4

Para fazer o período passar a ser 1,s, podemos ou mudar a massa para um valor m', mantendo k fixo, ou mudar a constante elástica para um valor k', mantendo m fixo.
  1. Mantendo k=16,N/m e exigindo T'=1,s, temos
1 = 2\pi\sqrt{\frac{m'}{16}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{m'}{16}} = \frac{1}{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad m' = 16\Bigl(\tfrac{1}{2\pi}\Bigr)^{2} = \frac{16}{4\pi^{2}} = \frac{4}{\pi^{2}}\approx 0{,}4053\text{ kg}.
  1. Mantendo m=0{,}250,kg e exigindo T'=1,s, temos
1 = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}250}{k'}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{0{,}250}{k'}} = \frac{1}{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad k' = 0{,}250\,(2\pi)^{2} = 0{,}250\times4\pi^{2} = \pi^{2}\approx 9{,}87\text{ N/m}.

Resposta

(a) T \approx 0{,}7854,s.
(b) Por exemplo, para obter T=1,s, pode-se aumentar a massa para cerca de 0{,}405,kg (mantendo k=16,N/m) ou trocar a mola por outra com k\approx9{,}87,N/m (mantendo m=0{,}250,kg).

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