Questão 1. Sejam a, b \in \mathbb{R}. Considere a função f dada por
f(x)=\frac{2 a x^{3}}{x^{3}-8}+2 b \arctan (\exp (-x))
(a) Determine valores para as constantes a e b de modo que y=-1 e y=4 sejam as equações das assíntotas horizontais do gráfico de f.
(b) Considerando os valores de a e b determinados no item anterior, determine as equações das assíntotas verticais do gráfico de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2 a x^{3}}{x^{3}-8}+2 b \arctan(\exp(-x))
com a,b\in\mathbb{R} e faz duas solicitações:
  1. (a) Determinar valores de a e b tais que as retas y=-1 e y=4 sejam as assíntotas horizontais do gráfico de f. Ou seja: obter a e b para que os limites de f(x) quando x\to+\infty e quando x\to-\infty sejam, um igual a -1 e o outro igual a 4.
  2. (b) Usando os valores de a e b encontrados, determinar as equações das assíntotas verticais do gráfico de f, se existirem.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é soma de uma razão racional \dfrac{2 a x^{3}}{x^{3}-8} e de 2 b\arctan(\exp(-x)).
  • O denominador da parte racional é x^{3}-8, que pode anular-se em algum ponto real.
  • Para assíntotas horizontais precisamos estudar limites em \pm\infty.
  • Para assíntotas verticais precisamos olhar onde a função pode explodir (denominador zero) e o comportamento limite lateral aí.

Passo 2

Vamos estudar os limites em infinito separando as duas parcelas da função. Primeiro a parcela racional
g(x)=\frac{2 a x^{3}}{x^{3}-8}.
Quando x\to\pm\infty os termos de maior grau dominam, então o -8 no denominador fica desprezível face a x^{3}. Formalmente,
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{3}}{x^{3}-8}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1-8/x^{3}}=1,
porque 8/x^{3}\to0. Assim
\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\lim_{x\to\pm\infty}2a\cdot\frac{x^{3}}{x^{3}-8}=2a\cdot 1=2a.
Explicando em palavras: o termo racional tende a uma constante 2a tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty.

Passo 3

Agora a segunda parcela
h(x)=2 b\arctan(\exp(-x)).
Estudamos \exp(-x) e \arctan separadamente:
  • Se x\to+\infty então \exp(-x)\to 0^{+} e \arctan(0)=0. Logo
\lim_{x\to+\infty}h(x)=2b\cdot 0=0.
  • Se x\to-\infty então \exp(-x)=\exp(+|x|)\to+\infty e \arctan(t)\to\pi/2 quando t\to+\infty. Logo
\lim_{x\to-\infty}h(x)=2b\cdot\frac{\pi}{2}=b\pi.
Em palavras: a parcela com \arctan(\exp(-x)) vale 0 no infinito positivo e tende a b\pi no infinito negativo.

Passo 4

Somando os resultados das duas parcelas, obtemos os limites da função completa:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\underbrace{2a}_{\text{da parcela racional}}+\underbrace{0}_{\text{da parcela arctan}}=2a,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\underbrace{2a}_{\text{racional}}+\underbrace{b\pi}_{\text{arctan}}=2a+b\pi.
Para que as retas y=-1 e y=4 sejam as assíntotas horizontais, é preciso que os dois limites acima assumam os valores -1 e 4 (um deles para +\infty e o outro para -\infty). Não há indicação no enunciado de qual reta corresponde a +\infty ou a -\infty, portanto temos duas alternativas coerentes:
Alternativa A (assumindo +\infty\mapsto 4 e -\infty\mapsto -1):
2a=4,\qquad 2a+b\pi=-1.
Resolvendo a primeira: a=2. Substituindo na segunda:
2\cdot 2 + b\pi = -1 \implies 4 + b\pi = -1 \implies b\pi = -5 \implies b=-\frac{5}{\pi}.
Alternativa B (assumindo +\infty\mapsto -1 e -\infty\mapsto 4):
2a=-1,\qquad 2a+b\pi=4.
Da primeira: a=-\tfrac{1}{2}. Substituindo:
2\left(-\tfrac{1}{2}\right) + b\pi = 4 \implies -1 + b\pi = 4 \implies b\pi = 5 \implies b=\frac{5}{\pi}.
Observação didática: ambas as alternativas garantem que os dois limites são exatamente -1 e 4, apenas trocando qual aparece em +\infty ou em -\infty. O enunciado só exigiu que as duas retas sejam assíntotas horizontais (sem fixar de que infinito), portanto ambas as soluções são válidas.

Passo 5

Passamos ao item (b): assíntotas verticais. Regra prática: assíntotas verticais podem ocorrer onde a função não está definida por zero do denominador e onde a função “explode” (limites laterais \pm\infty). A parte problemática é o denominador x^{3}-8. Resolvemos
x^{3}-8=0 \iff x^{3}=8 \iff x=2.
Portanto o único ponto onde a parte racional pode produzir uma assíntota vertical é x=2. A função 2b\arctan(\exp(-x)) é contínua em todo \mathbb{R}, logo não anula a possibilidade de assíntota vertical em x=2.

Passo 6

Para verificar o comportamento de f perto de x=2 desenvolvemos a parte racional em torno de x=2. Fatoramos o denominador:
x^{3}-8=(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right).
No ponto x=2 o fator quadrático vale 2^{2}+2\cdot2+4=4+4+4=12, que é diferente de zero. Assim, perto de x=2,
\frac{2a x^{3}}{x^{3}-8}=\frac{2a x^{3}}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}\sim\frac{2a\cdot 8}{(x-2)\cdot 12}=\frac{16a}{12(x-2)}=\frac{4a/3}{x-2},
ou seja, comporta-se como uma constante não nula dividida por x-2. Isso implica que os limites laterais quando x\to 2^{+} e x\to 2^{-} são \pm\infty (sinais dependem do sinal de a), e a parcela com \arctan(\exp(-x)) é finita em x=2. Portanto há de fato uma assíntota vertical em x=2.
Explicando sinais (para completar): o comportamento é dominado por \dfrac{4a/3}{x-2}.
  • Se a>0 então 4a/3>0: ao aproximar por x\to 2^{+} (denominador positivo) a fração vai para +\infty; ao aproximar por x\to 2^{-} (denominador negativo) vai para -\infty.
  • Se a<0 sinais invertidos: x\to 2^{+} -\infty e x\to 2^{-} +\infty.
    Nos dois casos o comportamento diverge, confirmando a assíntota vertical.

Resposta

(a) Duas soluções possíveis:
a=2,\; b=-\dfrac{5}{\pi} \quad ou \quad a=-\dfrac{1}{2},\; b=\dfrac{5}{\pi}.\n
(b) A única assíntota vertical é x=2.

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