Uma partícula esférica porosa de raio igual a 3 mm contém um soluto A que está sendo extraído por um líquido perfeitamente agitado. A difusividade efetiva do soluto no interior do sólido é 8 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, o coeficiente convectivo externo de transferência de massa é 2 \times 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o coeficiente de partição entre as fases é igual a 2 . Com base nesses dados, determine o número de Biot mássico do sistema, identifique o mecanismo limitante da transferência de massa e discuta quantitativamente como a redução do raio da partícula à metade alteraria o regime de controle do processo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Determinar o número de Biot mássico do sistema com os dados fornecidos.
  • Identificar qual é o mecanismo limitante da transferência de massa (controle por filme externo ou por difusão dentro da partícula).
  • Discutir quantitativamente como reduzir o raio da partícula à metade altera o regime de controle.
Dados fornecidos (pego diretamente do enunciado):
  • Raio da partícula: R=3\\ \text{mm}.
  • Difusividade efetiva no sólido: D_e=8\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}.
  • Coeficiente convectivo externo de massa: k_c=2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Coeficiente de partição (equilíbrio) entre fases: K=2.
Observação: converto o raio para unidades do SI antes de calcular:
R=3\\ \text{mm}=0,003\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definição do número de Biot mássico e escolha do comprimento característico (aula rápida).
  • Em problemas de transferência de massa por difusão dentro de partículas esféricas versus resistência ao transporte pelo filme externo, usa-se uma analogia com condução calorífica. O número de Biot mássico mede a razão entre a resistência externa (convectiva) e a resistência interna (difusiva).
  • A definição geral que vamos usar é
\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c L_c}{D_e},
onde:
  • k_c é o coeficiente convectivo de massa ( \mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • D_e é a difusividade efetiva no sólido ( \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}),
  • L_c é o comprimento característico do sólido usado na analogia. Para uma esfera usa-se o comprimento característico volumétrico L_c=\dfrac{V}{A} (o mesmo que se usa em transferência de calor para critérios de lumped capacitance).
  • Para uma esfera de raio R vale
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2}=\frac{R}{3}.
  • Justificativa simples: L_c representa a distância média que a massa precisa difundir internamente; para efeito da comparação entre resistências, R/3 é a escolha padrão para esferas.

Passo 3

Cálculo numérico do número de Biot mássico (passo a passo).
  • Primeiro calculo L_c:
L_c=\frac{R}{3}=\frac{0,003\\ \mathrm{m}}{3}=0,001\\ \mathrm{m}.
  • Agora aplico a fórmula de \mathrm{Bi}_m:
\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c L_c}{D_e}=\frac{\left(2\times10^{-4}\right)\cdot\left(0,001\right)}{8\times10^{-10}}.
  • Faço as contas em passos:
    • Produto no numerador: k_c L_c=2\times10^{-4}\times0,001=2\times10^{-7}.
    • Divisão: \dfrac{2\times10^{-7}}{8\times10^{-10}}=\dfrac{2}{8}\times10^{(-7)-(-10)}=0,25\times10^{3}=250.
  • Resultado:
\mathrm{Bi}_m=250.

Passo 4

Interpretação física do valor de \mathrm{Bi}_m e critério de regime (aula e aplicação).
  • Regra prática (análogo ao critério de lumped capacitance em calor): se \mathrm{Bi}_m\ll0,1 a resistência interna é desprezível e o processo é controlado pelo filme convectivo externo; se \mathrm{Bi}_m\gg0,1 a resistência interna (difusão dentro da partícula) domina.
  • Como \mathrm{Bi}_m=250\gg0,1, concluímos que o transporte de massa é limitado pela difusão intracelular (dentro da partícula) — ou seja, controle por difusão interna.
  • Para reforçar com escalas de tempo (útil na prova): defino tempos característicos usando L_c.
    • Tempo característico de difusão interna:
    t_{\text{dif}}=\frac{L_c^2}{D_e}=\frac{(0,001)^2}{8\times10^{-10}}=\frac{1\times10^{-6}}{8\times10^{-10}}=1250\\ \mathrm{s}\approx20,8\\ \text{min}.
    • Tempo característico associado à remoção convectiva na superfície:
    t_{\text{conv}}=\frac{L_c}{k_c}=\frac{0,001}{2\times10^{-4}}=5\\ \mathrm{s}.
    • Relação entre tempos:
    \frac{t_{\text{dif}}}{t_{\text{conv}}}=\frac{1250}{5}=250=\mathrm{Bi}_m,o que confirma numericamente que a difusão interna é muito mais lenta (≈250 vezes) que a retirada por convecção na superfície.

Passo 5

Efeito de reduzir o raio à metade (cálculos e interpretação).
  • Novo raio: R'=\dfrac{R}{2}=\dfrac{0,003}{2}=0,0015\\ \mathrm{m}.
  • Novo comprimento característico:
L_c'=\frac{R'}{3}=\frac{0,0015}{3}=0,0005\\ \mathrm{m}.
  • Novo número de Biot:
\mathrm{Bi}_m'=\frac{k_c L_c'}{D_e}=\frac{\left(2\times10^{-4}\right)\cdot\left(0,0005\right)}{8\times10^{-10}}=\frac{1\times10^{-7}}{8\times10^{-10}}=125.
  • Observações:
    • Ao reduzir o raio à metade, \mathrm{Bi}_m também reduz pela metade (porque \mathrm{Bi}_m\propto R para uma esfera quando L_c=R/3). Aqui 250\to125.
    • Mesmo com o raio metade, \mathrm{Bi}_m'=125\gg0,1. Logo o processo continua sendo controlado pela difusão interna — a mudança não é suficiente para tornar o filme externo dominante.
  • Tempos característicos com o novo L_c':
    • t_{\text{dif}}'=\dfrac{{L_c'}^{2}}{D_e}=\dfrac{(0,0005)^2}{8\times10^{-10}}=\dfrac{2,5\times10^{-7}}{8\times10^{-10}}=312{,}5\\ \mathrm{s}\approx5{,}2\\ \text{min}.
    • t_{\text{conv}}'=\dfrac{L_c'}{k_c}=\dfrac{0,0005}{2\times10^{-4}}=2{,}5\\ \mathrm{s}.
    • Razão: \dfrac{t_{\text{dif}}'}{t_{\text{conv}}'}=125 (coerente com \mathrm{Bi}_m').
  • Conclusão quantitativa: reduzir o raio pela metade diminui o tempo de difusão por um fator 4 (porque t_{\text{dif}}\propto L_c^2\propto R^2), e diminui \mathrm{Bi}_m por fator 2. Ainda assim permanece claramente no regime controlado por difusão interna.

Passo 6

Critério para que o regime mude para controle por filme externo (estimativa numérica) e papel do coeficiente de partição K.
  • Para que o regime fosse controlado pelo filme externo precisaríamos ter \mathrm{Bi}_m\lesssim0,1. Calculo o raio necessário para atingir \mathrm{Bi}_m=0,1:
0,1=\frac{k_c (R_{\text{crit}}/3)}{D_e}\quad\Rightarrow\quad R_{\text{crit}}=0,1\cdot\frac{3D_e}{k_c}.
  • Substituindo:
R_{\text{crit}}=0,1\cdot\frac{3\cdot 8\times10^{-10}}{2\times10^{-4}}=0,3\cdot\frac{8\times10^{-10}}{2\times10^{-4}}=0,3\cdot4\times10^{-6}=1,2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1{,}2\\ \mu\mathrm{m}.
  • Interpretação: seria preciso partículas com raio da ordem de 1{,}2\\ \mu\mathrm{m} (ou menores) para que o filme externo passasse a dominar ( \mathrm{Bi}_m\approx0,1). Isso mostra que partículas macroscópicas (milímetros) ficam fortemente no regime de difusão interna.
  • Papel de K (coeficiente de partição): K=2 indica a relação de equilíbrio entre a concentração do soluto no sólido e no líquido na interface ( C_s^{\text{eq}}=K\,C_\ell^{\text{eq}}). Isso altera as condições de contorno e a magnitude das concentrações envolvidas (logo afeta fluxos absolutas e curvas transitórias), mas não entra na expressão do \mathrm{Bi}_m definida acima; portanto K não altera a comparação entre resistências interna e externa (o critério \mathrm{Bi}_m continua válido). Em termos práticos, K muda o gradiente de concentração necessário para extrair uma dada quantidade, mas não muda quem é o limitante se \mathrm{Bi}_m for muito grande.

Passo 7

Resumo executivo (útil para gabarito rápido antes da prova)
  • Cálculo direto deu \mathrm{Bi}_m=250, portanto controle por difusão intrapartícula.
  • Ao reduzir R à metade, \mathrm{Bi}_m cai para 125 — ainda controle por difusão interna; tempos de difusão caem por fator 4.
  • Para inverter o regime (passar a controle por filme) seria necessário reduzir o raio até a ordem de 10^{-6}\\ \mathrm{m} (≈ 1{,}2\\ \mu\mathrm{m}), o que é muito menor que a escala mm dada no problema.

Resposta

\mathrm{Bi}_m=250
Mecanismo limitante: difusão interna (controle por difusão dentro da partícula).
Ao reduzir o raio à metade: \mathrm{Bi}_m'=125 (ainda controle por difusão); seria necessário R\approx1,2\times10^{-6}\\ \mathrm{m} para que o filme externo pudesse dominar.

Exercícios relacionados