Uma partícula esférica porosa de raio igual a 3 mm contém um soluto A que está sendo extraído por um líquido perfeitamente agitado. A difusividade efetiva do soluto no interior do sólido é
, o coeficiente convectivo externo de transferência de massa é
e o coeficiente de partição entre as fases é igual a 2 . Com base nesses dados, determine o número de Biot mássico do sistema, identifique o mecanismo limitante da transferência de massa e discuta quantitativamente como a redução do raio da partícula à metade alteraria o regime de controle do processo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Determinar o número de Biot mássico do sistema com os dados fornecidos.
- Identificar qual é o mecanismo limitante da transferência de massa (controle por filme externo ou por difusão dentro da partícula).
- Discutir quantitativamente como reduzir o raio da partícula à metade altera o regime de controle.
Dados fornecidos (pego diretamente do enunciado):
- Raio da partícula:
. - Difusividade efetiva no sólido:
. - Coeficiente convectivo externo de massa:
. - Coeficiente de partição (equilíbrio) entre fases:
.
Observação: converto o raio para unidades do SI antes de calcular:
Passo 2
Definição do número de Biot mássico e escolha do comprimento característico (aula rápida).
- Em problemas de transferência de massa por difusão dentro de partículas esféricas versus resistência ao transporte pelo filme externo, usa-se uma analogia com condução calorífica. O número de Biot mássico mede a razão entre a resistência externa (convectiva) e a resistência interna (difusiva).
- A definição geral que vamos usar é
onde:
-
é o coeficiente convectivo de massa ( ), -
é a difusividade efetiva no sólido ( ), -
é o comprimento característico do sólido usado na analogia. Para uma esfera usa-se o comprimento característico volumétrico (o mesmo que se usa em transferência de calor para critérios de lumped capacitance). - Para uma esfera de raio
vale
- Justificativa simples:
representa a distância média que a massa precisa difundir internamente; para efeito da comparação entre resistências, é a escolha padrão para esferas.
Passo 3
Cálculo numérico do número de Biot mássico (passo a passo).
- Primeiro calculo
:
- Agora aplico a fórmula de
:
- Faço as contas em passos:
- Produto no numerador:
. - Divisão:
- Produto no numerador:
- Resultado:
Passo 4
Interpretação física do valor de
e critério de regime (aula e aplicação).
- Regra prática (análogo ao critério de lumped capacitance em calor): se
a resistência interna é desprezível e o processo é controlado pelo filme convectivo externo; se a resistência interna (difusão dentro da partícula) domina. - Como
, concluímos que o transporte de massa é limitado pela difusão intracelular (dentro da partícula) — ou seja, controle por difusão interna. - Para reforçar com escalas de tempo (útil na prova): defino tempos característicos usando
. - Tempo característico de difusão interna:
- Tempo característico associado à remoção convectiva na superfície:
- Relação entre tempos:
o que confirma numericamente que a difusão interna é muito mais lenta (≈250 vezes) que a retirada por convecção na superfície.
Passo 5
Efeito de reduzir o raio à metade (cálculos e interpretação).
- Novo raio:
. - Novo comprimento característico:
- Novo número de Biot:
- Observações:
- Ao reduzir o raio à metade,
também reduz pela metade (porque para uma esfera quando ). Aqui . - Mesmo com o raio metade,
. Logo o processo continua sendo controlado pela difusão interna — a mudança não é suficiente para tornar o filme externo dominante.
- Ao reduzir o raio à metade,
- Tempos característicos com o novo
: -
-
- Razão:
(coerente com ).
-
- Conclusão quantitativa: reduzir o raio pela metade diminui o tempo de difusão por um fator
(porque ), e diminui por fator . Ainda assim permanece claramente no regime controlado por difusão interna.
Passo 6
Critério para que o regime mude para controle por filme externo (estimativa numérica) e papel do coeficiente de partição
.
- Para que o regime fosse controlado pelo filme externo precisaríamos ter
. Calculo o raio necessário para atingir :
- Substituindo:
- Interpretação: seria preciso partículas com raio da ordem de
(ou menores) para que o filme externo passasse a dominar ( ). Isso mostra que partículas macroscópicas (milímetros) ficam fortemente no regime de difusão interna. - Papel de
(coeficiente de partição): indica a relação de equilíbrio entre a concentração do soluto no sólido e no líquido na interface ( ). Isso altera as condições de contorno e a magnitude das concentrações envolvidas (logo afeta fluxos absolutas e curvas transitórias), mas não entra na expressão do definida acima; portanto não altera a comparação entre resistências interna e externa (o critério continua válido). Em termos práticos, muda o gradiente de concentração necessário para extrair uma dada quantidade, mas não muda quem é o limitante se for muito grande.
Passo 7
Resumo executivo (útil para gabarito rápido antes da prova)
- Cálculo direto deu
, portanto controle por difusão intrapartícula. - Ao reduzir
à metade, cai para — ainda controle por difusão interna; tempos de difusão caem por fator . - Para inverter o regime (passar a controle por filme) seria necessário reduzir o raio até a ordem de
(≈ ), o que é muito menor que a escala mm dada no problema.
Resposta
Mecanismo limitante: difusão interna (controle por difusão dentro da partícula).
Ao reduzir o raio à metade: