Para um escoamento no plano x y, a componente y da velocidade é dada por v=y^{2}-2 x+2 y \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Encontre uma possível componente x para o escoamento permanente e incompressível. Sugestão: Aplique a equação da continuidade.

Passo 1

O enunciado dá a componente y da velocidade para um escoamento no plano x y:
v(x,y)=y^{2}-2x+2y\\ \text{m/s}.
Pede-se: encontrar uma possível componente x da velocidade, ou seja, achar uma função u(x,y) que, juntamente com v(x,y) fornecida, represente um escoamento permanente e incompressível. Não há condições de contorno adicionais fornecidas.

Passo 2

Para um escoamento permanente (independente do tempo) e incompressível em duas dimensões, a conservação de massa (equação da continuidade) reduz-se à anulação da divergência do campo velocidade. Escrevemos isso matematicamente como
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Explicação curta e didática: \partial u/\partial x é a taxa de variação da componente x da velocidade quando mudamos x mantendo y fixo; \partial v/\partial y é a taxa de variação da componente y quando mudamos y mantendo x fixo. A soma dessas taxas deve ser zero para que o fluido não se acumule nem rarefie localmente (incompressibilidade).

Passo 3

Calculemos \partial v/\partial y a partir da expressão dada para v. Diferenciando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\bigr)=0 (pois x é tratado como constante ao derivar em relação a y),
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2y\bigr)=2.
Portanto
\frac{\partial v}{\partial y}=2y+2=2(y+1).

Passo 4

Substituindo na equação da continuidade obtemos uma equação para \partial u/\partial x:
\frac{\partial u}{\partial x} + 2(y+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=-2(y+1).
Agora integramos essa relação em relação a x, lembrando que a integração em x pode produzir uma “constante” de integração que, como estamos integrando uma equação parcial, pode ser uma função de y. Assim,
u(x,y)=\int -2(y+1)\,dx = -2(y+1)\,x + f(y),
onde f(y) é uma função arbitrária de y (determinação de f(y) exige condições de contorno ou informações adicionais sobre o escoamento).
Explicação do porquê da função f(y): ao integrar em x tratamos y como constante, então qualquer termo que dependa apenas de y desaparece ao derivar em relação a x; por isso aparece a liberdade f(y).

Passo 5

Verificação rápida: calcule \partial u/\partial x da solução encontrada:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2(y+1)x+f(y)\bigr)=-2(y+1),
e já tínhamos \partial v/\partial y=2(y+1). A soma é zero, então a solução satisfaz a continuidade e o escoamento é incompressível.
Uma escolha simples e frequentemente adotada quando não há condições extras é tomar f(y)=0. Assim obtemos uma componente x explícita e simples:
u(x,y)=-2x(y+1).
Mas qualquer função f(y) adicionada a essa expressão ainda gera um escoamento incompressível.

Resposta

u(x,y)=-2(y+1)x+f(y),
onde f(y) é uma função arbitrária de y.
\text{Uma escolha possível (particular): }u(x,y)=-2x(y+1).í

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