Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para o escoamento permanente e incompressível. Sugestão: Aplique a equação da continuidade.
Passo 1
O enunciado dá a componente
da velocidade para um escoamento no plano
:
Pede-se: encontrar uma possível componente
da velocidade, ou seja, achar uma função
que, juntamente com
fornecida, represente um escoamento permanente e incompressível. Não há condições de contorno adicionais fornecidas.
Passo 2
Para um escoamento permanente (independente do tempo) e incompressível em duas dimensões, a conservação de massa (equação da continuidade) reduz-se à anulação da divergência do campo velocidade. Escrevemos isso matematicamente como
Explicação curta e didática:
é a taxa de variação da componente
da velocidade quando mudamos
mantendo
fixo;
é a taxa de variação da componente
quando mudamos
mantendo
fixo. A soma dessas taxas deve ser zero para que o fluido não se acumule nem rarefie localmente (incompressibilidade).
Passo 3
Calculemos
a partir da expressão dada para
. Diferenciando termo a termo:
-
, -
(pois é tratado como constante ao derivar em relação a ), -
.
Portanto
Passo 4
Substituindo na equação da continuidade obtemos uma equação para
:
Agora integramos essa relação em relação a
, lembrando que a integração em
pode produzir uma “constante” de integração que, como estamos integrando uma equação parcial, pode ser uma função de
. Assim,
onde
é uma função arbitrária de
(determinação de
exige condições de contorno ou informações adicionais sobre o escoamento).
Explicação do porquê da função
: ao integrar em
tratamos
como constante, então qualquer termo que dependa apenas de
desaparece ao derivar em relação a
; por isso aparece a liberdade
.
Passo 5
Verificação rápida: calcule
da solução encontrada:
e já tínhamos
. A soma é zero, então a solução satisfaz a continuidade e o escoamento é incompressível.
Uma escolha simples e frequentemente adotada quando não há condições extras é tomar
. Assim obtemos uma componente
explícita e simples:
Mas qualquer função
adicionada a essa expressão ainda gera um escoamento incompressível.
Resposta
onde
é uma função arbitrária de
.