Uma partícula esférica de raio 10^{-3} \mathrm{~m} apresenta coeficiente convectivo externo igual a 10^{-5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, difusividade efetiva interna de 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e coeficiente de partição unitário. Determine o número de Biot mássico do sistema, interprete fisicamente a razão entre as resistências interna e externa e avalie como o regime de controle seria alterado caso o coeficiente convectivo externo fosse duplicado.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • raio da partícula: R=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • coeficiente convectivo externo (coeficiente de transferência de massa): k_c=10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
  • difusividade efetiva interna: D_{\text{eff}}=10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • coeficiente de partição unitário (ou seja, nenhuma descontinuidade de concentração na interface).
O que o enunciado pede:
  1. Determinar o número de Biot mássico do sistema.
  2. Interpretar fisicamente a razão entre as resistências interna e externa.
  3. Avaliar como o regime de controle seria alterado caso o coeficiente convectivo externo fosse duplicado.

Passo 2

Definição e escolha do comprimento característico.
Para comparar a resistência de transporte de massa dentro da partícula (difusão interna) com a resistência externa (convecção na superfície) usa-se o número de Biot mássico definido por
\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c L_c}{D_{\text{eff}}}.
Aqui L_c é o comprimento característico do corpo. Para uma esfera é usual (e físico) escolher
L_c=\frac{V}{A},
onde V é o volume da esfera e A a sua área de superfície. Isso porque V/A representa a “distância média” que a massa precisa percorrer no interior para alcançar a superfície — é o comprimento típico que aparece nas leis de transporte internas.
Calculemos L_c para a esfera: o volume é V=\tfrac{4}{3}\pi R^{3} e a área é A=4\pi R^{2}, portanto
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}{4\pi R^{2}}=\frac{R}{3}.

Passo 3

Cálculo numérico de L_c. Substituindo R=10^{-3}\\ \mathrm{m},
L_c=\frac{R}{3}=\frac{10^{-3}}{3}=3{,}333\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do número de Biot mássico. Usando \mathrm{Bi}_m=\dfrac{k_c L_c}{D_{\text{eff}}} e os valores dados:
k_c L_c = 10^{-5}\times 3{,}333\times10^{-4}=3{,}333\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\mathrm{Bi}_m=\frac{3{,}333\times10^{-9}}{1\times10^{-8}}=0{,}333\ldots\approx 0{,}333.

Passo 5

Interpretação física da razão entre resistências interna e externa.
Definindo uma “resistência” de transporte de massa como a queda de concentração por unidade de fluxo, uma estimativa simples é:
  • resistência externa (convecção): R_{\text{ext}}\approx\frac{1}{k_c} (unidades \mathrm{s/m});
  • resistência interna (difusão ao longo do comprimento característico): R_{\text{int}}\approx\frac{L_c}{D_{\text{eff}}}.
A razão entre a resistência interna e a externa é então
\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{ext}}}=\frac{L_c/D_{\text{eff}}}{1/k_c}=\frac{k_c L_c}{D_{\text{eff}}}=\mathrm{Bi}_m.
Portanto \mathrm{Bi}_m é exatamente a razão R_{\text{int}}/R_{\text{ext}}.
Com \mathrm{Bi}_m\approx0{,}333 obtemos
\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{ext}}}\approx 0{,}333,
ou seja, a resistência interna é cerca de um terço da resistência externa. Em palavras simples: a convecção na superfície (resistência externa) é maior que a resistência por difusão no interior, mas não por uma diferença enorme — as resistências são da mesma ordem de grandeza. Critérios práticos comumente usados:
  • se \mathrm{Bi}_m\ll 0{,}1: resistência externa domina e a concentração dentro da partícula pode ser considerada praticamente uniforme (modelo lumped).
  • se \mathrm{Bi}_m\gg 1: resistência interna domina (controle por difusão).
  • se 0{,}1\lesssim\mathrm{Bi}_m\lesssim 1: ambos contribuem e o problema é de resistência mista.
No nosso caso ( 0{,}333) estamos na faixa mista, mais tendendo à dominância externa, mas com difusão interna relevante.

Passo 6

Efeito de duplicar o coeficiente convectivo externo.
Se k_c é duplicado: k_c^{\text{(novo)}}=2\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}. Recalcula-se \mathrm{Bi}_m:
k_c^{\text{(novo)}}L_c=2\times 3{,}333\times10^{-9}=6{,}666\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\mathrm{Bi}_m^{\text{(novo)}}=\frac{6{,}666\times10^{-9}}{1\times10^{-8}}=0{,}666\ldots\approx 0{,}667.
Logo a razão R_{\text{int}}/R_{\text{ext}} passa a ser \approx0{,}667: a resistência interna fica agora dois terços da externa. Em termos de regime de controle isso significa que, ao aumentar k_c, a resistência externa diminui (porque R_{\text{ext}}\approx1/k_c cai) e a difusão interna passa a ter papel relativamente maior — o sistema desloca-se no sentido de maior importância da resistência interna. Contudo, com \mathrm{Bi}_m^{\text{(novo)}}\approx0{,}667<1, o controle ainda não é totalmente por difusão interna: permanece um regime misto, porém mais próximo do controle interno do que antes.
Como referência, para que a difusão interna passe a dominar totalmente (tomando o limiar \mathrm{Bi}_m=1), seria necessário um k_c tal que
k_c=\frac{D_{\text{eff}}}{L_c}=\frac{1\times10^{-8}}{3{,}333\times10^{-4}}=3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
O k_c duplicado ( 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}) ainda está abaixo desse valor, por isso o controle ainda é misto.

Resposta

\mathrm{Bi}_m\approx0{,}333
\dfrac{R_{\text{int}}}{R_{\text{ext}}}=\mathrm{Bi}_m\approx0{,}333 (a resistência interna é cerca de um terço da externa; regime misto com convecção externa dominante)
Com k_c duplicado: \mathrm{Bi}_m^{\text{(novo)}}\approx0{,}667 (o regime aproxima-se mais do controle por difusão interna, mas continua misto; para \mathrm{Bi}_m=1 seria necessário k_c\approx3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}).

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