Uma partícula esférica de raio
apresenta coeficiente convectivo externo igual a
, difusividade efetiva interna de
e coeficiente de partição unitário. Determine o número de Biot mássico do sistema, interprete fisicamente a razão entre as resistências interna e externa e avalie como o regime de controle seria alterado caso o coeficiente convectivo externo fosse duplicado.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados:
- raio da partícula:
. - coeficiente convectivo externo (coeficiente de transferência de massa):
. - difusividade efetiva interna:
. - coeficiente de partição unitário (ou seja, nenhuma descontinuidade de concentração na interface).
O que o enunciado pede:
- Determinar o número de Biot mássico do sistema.
- Interpretar fisicamente a razão entre as resistências interna e externa.
- Avaliar como o regime de controle seria alterado caso o coeficiente convectivo externo fosse duplicado.
Passo 2
Definição e escolha do comprimento característico.
Para comparar a resistência de transporte de massa dentro da partícula (difusão interna) com a resistência externa (convecção na superfície) usa-se o número de Biot mássico definido por
Para comparar a resistência de transporte de massa dentro da partícula (difusão interna) com a resistência externa (convecção na superfície) usa-se o número de Biot mássico definido por
Aqui
é o comprimento característico do corpo. Para uma esfera é usual (e físico) escolher
onde
é o volume da esfera e
a sua área de superfície. Isso porque
representa a “distância média” que a massa precisa percorrer no interior para alcançar a superfície — é o comprimento típico que aparece nas leis de transporte internas.
Calculemos
para a esfera: o volume é
e a área é
, portanto
Passo 3
Cálculo numérico de
. Substituindo
,
Passo 4
Cálculo do número de Biot mássico. Usando
e os valores dados:
Passo 5
Interpretação física da razão entre resistências interna e externa.
Definindo uma “resistência” de transporte de massa como a queda de concentração por unidade de fluxo, uma estimativa simples é:
Definindo uma “resistência” de transporte de massa como a queda de concentração por unidade de fluxo, uma estimativa simples é:
- resistência externa (convecção):
(unidades ); - resistência interna (difusão ao longo do comprimento característico):
.
A razão entre a resistência interna e a externa é então
Portanto
é exatamente a razão
.
Com
obtemos
ou seja, a resistência interna é cerca de um terço da resistência externa. Em palavras simples: a convecção na superfície (resistência externa) é maior que a resistência por difusão no interior, mas não por uma diferença enorme — as resistências são da mesma ordem de grandeza. Critérios práticos comumente usados:
- se
: resistência externa domina e a concentração dentro da partícula pode ser considerada praticamente uniforme (modelo lumped). - se
: resistência interna domina (controle por difusão). - se
: ambos contribuem e o problema é de resistência mista.
No nosso caso (
) estamos na faixa mista, mais tendendo à dominância externa, mas com difusão interna relevante.
Passo 6
Efeito de duplicar o coeficiente convectivo externo.
Se é duplicado:
. Recalcula-se
:
Se
Logo a razão
passa a ser
: a resistência interna fica agora dois terços da externa. Em termos de regime de controle isso significa que, ao aumentar
, a resistência externa diminui (porque
cai) e a difusão interna passa a ter papel relativamente maior — o sistema desloca-se no sentido de maior importância da resistência interna. Contudo, com
, o controle ainda não é totalmente por difusão interna: permanece um regime misto, porém mais próximo do controle interno do que antes.
Como referência, para que a difusão interna passe a dominar totalmente (tomando o limiar
), seria necessário um
tal que
O
duplicado (
) ainda está abaixo desse valor, por isso o controle ainda é misto.
Resposta
Com