Em uma partícula esférica de raio , há geração térmica uniforme a uma taxa . A partícula é encapsulada por uma casca esférica com raio externo , que é resfriada pelo ar ambiente. As condutividades térmicas da partícula e da casca são e , respectivamente, sendo .
Reação química
Volume de controle A
Em coordenadas , esboce a distribuição de temperaturas em .
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos uma esfera sólida de raio r₁ (vou chamar de r₁ para não confundir com r₂), dentro dela há geração de calor uniforme à taxa . Em volta dessa esfera há uma casca esférica de raio externo r₂, feita de material diferente, e ela troca calor por convecção com o ar ambiente. As condutividades são (esfera interna) e (casca), com .
Conteúdo: condução de calor estacionária em coordenadas esféricas (com fonte internna na parte sólida e sem fonte na casca), condições de contorno de interface e convecção no limite externo. Vamos precisar:
Equação diferencial de condução em esfera com geração.
Equação sem geração na casca (solução geral).
Imposição das condições de contorno.
Esboço qualitativo de versus .
Passo 2
Resolvendo a esfera interna (0≤r≤r₁), temos geração volumétrica , condutividade e regime estacionário. A equação em coordenadas esféricas é:
Para não dar temperatura infinita em , a parte em some e sobra somente o termo quadrático + constante.
Passo 3
Agora a casca externa (r₁≤r≤r₂), sem geração, a equação vira
A solução geral é
Passo 4
Precisamos das três condições de contorno:
a) Em r=0 a solução já está ok (não dá singularidade).
b) Continuidade de temperatura e fluxo em r=r₁:
c) Na superfície externa r=r₂ temos convecção com coeficiente h e temperatura ambiente Tinfty: -k2dT2dr|r2=hl(T2(r2)-Tinftyr),
Resolvendo essas três equações para C1',A,B você teria as expressões completas de T1(r) e T2(r).
Passo 5
Para esboçar T vs. r (ou “T-x” considerando x=r):
De r=0 até r=r₁₁, a curva é uma parábola invertida (-dot q6k1r^2 + C), com máximo no centro.
Em r=r₁₁ a temperatura é contínua, mas a inclinação muda (porque k1neq k2).
De r₁₁ até r₂₂, T2(r)=A+B/r é uma curva decrescente em 1/r, esticando-se até a convecção em r₂, onde atinge um valor ainda acima de Tinfty.
Resposta
Gráfico qualitativo de T vs. r:
.
/ \ ← região 1: parábola (máximo em r=0)
/ _______ ← em r=r₁ a inclinação muda
\ ← região 2: decaimento em 1/r até r₂
____ ← em r₂ temperatura ainda acima de Tinfty e depois tende a Tinfty por convecção.