Uma partícula está no estado fundamental em um poço infinito de largura a. Calcule a probabilidade
de encontrar a partícula no intervalo
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado diz: uma partícula está no estado fundamental em um poço infinito de largura
. Queremos calcular a probabilidade
de encontrar a partícula em um intervalo de largura
em torno de
Informações relevantes que o enunciado dá:
A missão é: usar a densidade de probabilidade da partícula no estado fundamental e calcular a probabilidade aproximada de achar a partícula dentro desse pequeno intervalo centrado em
.
Passo 2
Qual é a função de onda do estado fundamental no poço infinito? Sem entrar em muitos detalhes da solução da equação de Schrödinger (só o suficiente para você entender), o resultado padrão é:
Explicando cada parte:
-
é a função de onda do primeiro (menor) nível de energia — o estado fundamental. - O fator
é a constante de normalização: ele garante que a probabilidade total seja 1.
Para ver de onde vem essa normalização, verificamos
Substituindo
:
pois
. Assim
está certinho.
Passo 3
Densidade de probabilidade e a aproximação para intervalo pequeno. A densidade de probabilidade é
Se o intervalo
for pequeno, a probabilidade de encontrar a partícula dentro dele, centrado em
, pode ser aproximada por
Explicando: isso vem da definição
. Quando
é pequeno,
varia pouco no intervalo e então a integral é aproximada por
. Se quiser maior precisão, pode-se calcular a integral exata — eu faço isso depois como checagem.
Passo 4
Avaliar
em
. Substituindo na fórmula:
portanto
Agora usamos a aproximação
:
Com
temos
Passo 5
(Verificação exata da integral — opcional, só para ver que a aproximação é muito boa.)
Calculemos exatamente
Calculemos exatamente
Fazendo a mudança
e usando
, chega-se a
Substituindo
dá
Como
(pois o argumento é pequeno), o segundo termo vale cerca de
, e assim
. Ou seja, a aproximação
deu o valor correto até os dígitos mostrados.