Uma partícula está no estado fundamental em um poço infinito de largura a. Calcule a probabilidade P(x)=\rho(x) \Delta x de encontrar a partícula no intervalo \Delta x= (0,001) a \mathrm{em}:
(a) x=\frac{1}{2} a

Passo 1

O enunciado diz: uma partícula está no estado fundamental em um poço infinito de largura a. Queremos calcular a probabilidade P(x)=\rho(x)\,\Delta x de encontrar a partícula em um intervalo de largura \Delta x = (0,001)\,a em torno de
x=\frac{1}{2}a.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\Delta x = 0{,}001\,a, \qquad x = \frac{1}{2}a, \qquad \text{o poço está no intervalo }0<x<a.çá
A missão é: usar a densidade de probabilidade da partícula no estado fundamental e calcular a probabilidade aproximada de achar a partícula dentro desse pequeno intervalo centrado em x=\tfrac{1}{2}a.

Passo 2

Qual é a função de onda do estado fundamental no poço infinito? Sem entrar em muitos detalhes da solução da equação de Schrödinger (só o suficiente para você entender), o resultado padrão é:
\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right), \qquad 0<x<a.
Explicando cada parte:
  • \psi_1(x) é a função de onda do primeiro (menor) nível de energia — o estado fundamental.
  • O fator \sqrt{\frac{2}{a}} é a constante de normalização: ele garante que a probabilidade total seja 1.
    Para ver de onde vem essa normalização, verificamos
\int_{0}^{a} |\psi_1(x)|^2\,dx = 1.
Substituindo \psi_1:
\int_{0}^{a} \frac{2}{a}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx = \frac{2}{a}\cdot\frac{a}{2}=1,
pois \displaystyle\int_{0}^{a}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx=\frac{a}{2}. Assim \sqrt{\tfrac{2}{a}} está certinho.

Passo 3

Densidade de probabilidade e a aproximação para intervalo pequeno. A densidade de probabilidade é
\rho(x)=|\psi_1(x)|^2=\frac{2}{a}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right).
Se o intervalo \Delta x for pequeno, a probabilidade de encontrar a partícula dentro dele, centrado em x, pode ser aproximada por
P(x)\approx \rho(x)\,\Delta x.
Explicando: isso vem da definição P=\int_{x-\Delta x/2}^{x+\Delta x/2}\rho(x')\,dx'. Quando \Delta x é pequeno, \rho(x') varia pouco no intervalo e então a integral é aproximada por \rho(x)\Delta x. Se quiser maior precisão, pode-se calcular a integral exata — eu faço isso depois como checagem.

Passo 4

Avaliar \rho(x) em x=\tfrac{1}{2}a. Substituindo na fórmula:
\sin\!\left(\frac{\pi}{a}\cdot\frac{a}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
portanto
\rho\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{2}{a}\cdot 1^2=\frac{2}{a}.
Agora usamos a aproximação P\approx\rho(x)\Delta x:
P\approx \frac{2}{a}\cdot \Delta x.
Com \Delta x=0{,}001\,a temos
P\approx \frac{2}{a}\cdot (0{,}001\,a)=2\cdot 0{,}001=0{,}002.

Passo 5

(Verificação exata da integral — opcional, só para ver que a aproximação é muito boa.)
Calculemos exatamente
P=\int_{a/2-\Delta x/2}^{a/2+\Delta x/2}\frac{2}{a}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx.
Fazendo a mudança x=\tfrac{a}{2}+u e usando \sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta, chega-se a
P=\frac{1}{a}\left[\Delta x + \frac{a}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi\Delta x}{a}\right)\right].
Substituindo \Delta x=0{,}001\,a
P=0{,}001 + \frac{1}{\pi}\sin(\pi\cdot 0{,}001).
Como \sin(\pi\cdot 0{,}001)\approx \pi\cdot 0{,}001 (pois o argumento é pequeno), o segundo termo vale cerca de 0{,}001, e assim P\approx 0{,}002. Ou seja, a aproximação \rho\Delta x deu o valor correto até os dígitos mostrados.

Resposta

P=0{,}002

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