Uma partícula está no estado
\psi=\frac{1}{\sqrt{5}}\binom{2}{1}
Encontre as probabilidades de:
Medir spin-up ou spin-down na direção y.

Passo 1

O enunciado dá o estado da partícula (no que vamos assumir ser a base z, i.e., |\uparrow_z\rangle=(1,0)^T e |\downarrow_z\rangle=(0,1)^T):
\psi=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Pede-se: encontrar as probabilidades de medir spin-up e spin-down na direção y. Informação relevante fornecida: o vetor estado \psi (já normalizado, pois |2|^2+|1|^2=5).]

Passo 2

Regra usada (explicação didática): se você tem um estado |\psi\rangle e uma base ortonormal \{|\phi_i\rangle\} associada às possíveis medidas, a probabilidade de obter o resultado correspondente a |\phi_i\rangle é
\text{Prob}(\phi_i)=\bigl|\langle\phi_i|\psi\rangle\bigr|^2.
Aqui \langle\phi_i| é o bra associado a |\phi_i\rangle, que significa o conjugado transposto do vetor coluna |\phi_i\rangle. A operação \langle\phi_i|\psi\rangle é um produto escalar complexo; para obter a probabilidade tomamos o módulo ao quadrado desse número complexo.

Passo 3

Precisamos escrever os autovetores de spin na direção y na base z. Conhecidos (e fáceis de verificar como autovetores de \sigma_y) são:
|+y\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix},\qquad |-y\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): as componentes complexas garantem que esses vetores são ortonormais e são autovetores de \sigma_y. Cada um tem norma unidade porque |1|^2+|i|^2=1+1=2 e o fator 1/\sqrt{2} normaliza.]

Passo 4

Calcular a amplitude para +y. Primeiro o bra correspondente:
\langle +y|=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\end{pmatrix}
(e aqui tomamos o conjugado de i\to -i). O estado |\psi\rangle é \dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então o produto escalar é
\langle +y|\psi\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(1\cdot 2 + (-i)\cdot 1\bigr) =\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(2 - i\bigr).
Agora a probabilidade é o módulo ao quadrado:
\bigl|\langle +y|\psi\rangle\bigr|^2 =\frac{1}{10}\bigl|2 - i\bigr|^2.
Lembrando que, para um número complexo a+bi, temos |a+bi|^2=a^2+b^2. Aqui 2-i tem parte real 2 e parte imaginária -1, então
\bigl|2 - i\bigr|^2=2^2+(-1)^2=4+1=5.
Logo
\bigl|\langle +y|\psi\rangle\bigr|^2=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.]

Passo 5

Calcular a amplitude para -y. O bra correspondente é
\langle -y|=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i\end{pmatrix}.
O produto escalar com |\psi\rangle é
\langle -y|\psi\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(1\cdot 2 + i\cdot 1\bigr) =\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(2 + i\bigr).
A probabilidade é
\bigl|\langle -y|\psi\rangle\bigr|^2 =\frac{1}{10}\bigl|2 + i\bigr|^2.
Como |2+i|^2=2^2+1^2=5, obtemos
\bigl|\langle -y|\psi\rangle\bigr|^2=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida: as duas probabilidades calculadas somam 1, como deve ser:
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Portanto o resultado está consistente.

Resposta

Probabilidade spin-up em y: \dfrac{1}{2}
Probabilidade spin-down em y: \dfrac{1}{2}

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