A pergunta é: qual a probabilidade de obter cada um desses resultados ao medir S_z?
Passo 2
Princípio que vamos usar (postulado da medição):
A probabilidade de obter um resultado associado a um autoestado \lvert \varphi\rangle quando o sistema está em \lvert \psi\rangle é
P = \left|\langle \varphi \mid \psi\rangle\right|^2.
Explicando isso com calma:
\langle \varphi \mid \psi\rangle é o produto interno entre dois vetores em \mathbb{C}^2. Para vetores coluna reais (como aqui) esse produto interno é simplesmente pegar o vetor linha conjugado de \langle \varphi\rvert e multiplicar por \lvert \psi\rangle.
O “módulo ao quadrado” \left|\cdot\right|^2 significa multiplicar pela conjugada complexa. Como todos os números aqui são reais, é só elevar ao quadrado.
Logo, para cada autovetor da base z vamos calcular a amplitude \langle \text{up}\mid\psi\rangle e \langle \text{down}\mid\psi\rangle e depois elevar ao quadrado o módulo.
Ótimo — isso confirma que os cálculos estão consistentes. Força aí, você já entendeu o processo: pegar a componente na base desejada, calcular o módulo ao quadrado, e pronto — probabilidade obtida!