Uma partícula está no estado
\psi=\frac{1}{\sqrt{5}}\binom{2}{1}
Encontre as probabilidades de:
Medir spin-up ou spin-down na direção z.

Passo 1

O enunciado dá o estado da partícula
\psi=\frac{1}{\sqrt{5}}\binom{2}{1}
e pede as probabilidades de medir spin-up ou spin-down na direção z.
Informações relevantes:
  • O vetor estado é um vetor coluna com componentes \frac{2}{\sqrt{5}} (componente superior) e \frac{1}{\sqrt{5}} (componente inferior).
  • No formalismo de spin-1/2, os autoestados de spin na direção z (base padrão) são
\lvert \text{up}\rangle = \binom{1}{0},\qquad \lvert \text{down}\rangle = \binom{0}{1}.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de obter cada um desses resultados ao medir S_z?

Passo 2

Princípio que vamos usar (postulado da medição):
A probabilidade de obter um resultado associado a um autoestado \lvert \varphi\rangle quando o sistema está em \lvert \psi\rangle é
P = \left|\langle \varphi \mid \psi\rangle\right|^2.
Explicando isso com calma:
  • \langle \varphi \mid \psi\rangle é o produto interno entre dois vetores em \mathbb{C}^2. Para vetores coluna reais (como aqui) esse produto interno é simplesmente pegar o vetor linha conjugado de \langle \varphi\rvert e multiplicar por \lvert \psi\rangle.
  • O “módulo ao quadrado” \left|\cdot\right|^2 significa multiplicar pela conjugada complexa. Como todos os números aqui são reais, é só elevar ao quadrado.
  • Logo, para cada autovetor da base z vamos calcular a amplitude \langle \text{up}\mid\psi\rangle e \langle \text{down}\mid\psi\rangle e depois elevar ao quadrado o módulo.

Passo 3

Calcular a amplitude para spin-up em z:
\langle \text{up}\mid\psi\rangle = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\big(1\cdot 2 + 0\cdot 1\big) =\frac{2}{\sqrt{5}}.
Aqui usamos que \langle \text{up}\rvert é o vetor linha \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} e fazemos a multiplicação componente a componente.]

Passo 4

Calcular a probabilidade de spin-up:
P(\text{up})=\left|\langle \text{up}\mid\psi\rangle\right|^2 =\left|\frac{2}{\sqrt{5}}\right|^2 =\frac{4}{5}.
Se quiser ver em decimal: \frac{4}{5}=0{,}8, ou seja 80\%.

Passo 5

Calcular a amplitude para spin-down em z:
\langle \text{down}\mid\psi\rangle = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\big(0\cdot 2 + 1\cdot 1\big) =\frac{1}{\sqrt{5}}.]

Passo 6

Calcular a probabilidade de spin-down:
P(\text{down})=\left|\langle \text{down}\mid\psi\rangle\right|^2 =\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right|^2 =\frac{1}{5}.
Em decimal: \frac{1}{5}=0{,}2, ou seja 20\%.

Passo 7

Verificação de normalização (checar se as probabilidades somam 1):
P(\text{up})+P(\text{down})=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1.
Ótimo — isso confirma que os cálculos estão consistentes. Força aí, você já entendeu o processo: pegar a componente na base desejada, calcular o módulo ao quadrado, e pronto — probabilidade obtida!

Resposta

P(\text{spin-up }(z))=\dfrac{4}{5}
P(\text{spin-down }(z))=\dfrac{1}{5}

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