Questão 5. Um sistema está no estado
Se
é medido, quais valores podem ser encontrados? Qual é a probabilidade de se encontrar
se medirmos
é uma constante de normalização e
é fixo.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
com
constante de normalização e com
fixo (ou seja, a dependência radial é constante e podemos focar só na parte angular). O que o problema pergunta:
- Se
é medido, quais valores podem ser encontrados? - Se medirmos
, qual é a probabilidade de encontrar (isto é, )?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é proporcional a um polinômio homogêneo de grau 2 nas coordenadas cartesianas ( e ). -
é fixo, então podemos representar em termos angulares e tratar a função como função angular sobre a esfera. - Não há outra parte radial a considerar: todas as probabilidades angulares dependem só da parte angular da função.
Passo 2
Primeira ideia física/matemática necessária (aula rápida): os autovalores de
e
.
- Os autovalores de
são dados por
onde
é inteiro não negativo (
).
- Para um dado
, os possíveis autovalores de são
Outra ideia importante: as funções angulares sobre a esfera que são homogêneas de grau
(polinômios de grau
em
divididos por
) podem ser escritas como combinações lineares dos harmónicos esféricos complexos
. Em particular, polinômios homogêneos de grau 2 correspondem a combinação linear apenas de harmónicos com
. Isso significa que, se a parte angular da função é um polinômio de grau 2, ela pertence ao subespaço
e, ao medir
, obteremos o valor correspondente a
com probabilidade 1.
Agora escrevemos a função em coordenadas esféricas para ver isso claramente. Usamos
e como
é fixo podemos tratar
como constante. Então
Portanto a parte angular de
é combinação de termos
e
, que são funções angulares de grau 2 (grau igual ao total do polinômio em
). Conclusão imediata: a componente angular pertence exclusivamente a
.
Assim, ao medir
obtemos o autovalor correspondente a
:
Passo 3
Agora precisamos da probabilidade de obter
(isto é,
) ao medir
. Método: expandir a parte angular de
na base dos harmónicos esféricos
e usar a norma desses coeficientes.
Primeiro lembrança/identidade útil dos harmónicos
(formas complexas padrão):
com constantes de normalização
Note que as partes imaginárias desses harmónicos dão as combinações com
e
que aparecem em
e
:
Reescrevendo
(ignorando o fator constante
até normalizar):
Usando as identidades acima,
Escrevendo
, obtemos expansão na base complexa
:
Assim os coeficientes (na base
) são, até fatores comuns:
e
.
Agora precisamos das magnitudes quadradas desses coeficientes para obter probabilidades. Observe que o fator comum
aparece em todos os
e cancela quando normalizamos, então não precisamos conhecer
nem
.
Calculemos as quantidades reais
e
. Usando os valores de
e
:
Portanto as duas constantes valem o mesmo; chamemos esse valor de
:
As magnitudes quadradas ficam então (os fatores
geram módulo
):
e
.
A normalização (integral de
sobre a esfera) é a soma dessas magnitudes:
Logo a probabilidade de obter
é
Intuição: a função angular se decompõe em quatro componentes
com módulos iguais, então cada uma tem probabilidade
; não há componente
.
Passo 4
Recapitulando de forma direta e pronta para a prova:
-
A parte angular de
é um polinômio homogêneo de grau 2, portanto pertence ao subespaço dos harmónicos esféricos. Assim a única possibilidade para é o autovalor de . -
Expandindo em
obtemos coeficientes não nulos apenas para , todos com o mesmo módulo, daí a probabilidade de ser .