Questão 5. Um sistema está no estado
\psi(x, y, z)=N(x y+y z) .
Se L^{2} é medido, quais valores podem ser encontrados? Qual é a probabilidade de se encontrar 2 \hbar se medirmos \vec{L}_{z} ? N é uma constante de normalização e r é fixo.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(x,y,z)=N(xy+yz),
com N constante de normalização e com r fixo (ou seja, a dependência radial é constante e podemos focar só na parte angular). O que o problema pergunta:
  1. Se \vec{L}^{2} é medido, quais valores podem ser encontrados?
  2. Se medirmos \vec{L}_{z}, qual é a probabilidade de encontrar 2\hbar (isto é, m=+2)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \psi é proporcional a um polinômio homogêneo de grau 2 nas coordenadas cartesianas ( xy e yz).
  • r é fixo, então podemos representar x,y,z em termos angulares (\theta,\varphi) e tratar a função como função angular sobre a esfera.
  • Não há outra parte radial a considerar: todas as probabilidades angulares dependem só da parte angular da função.

Passo 2

Primeira ideia física/matemática necessária (aula rápida): os autovalores de \vec{L}^{2} e \vec{L}_{z}.
  • Os autovalores de \vec{L}^{2} são dados por
\ell(\ell+1)\hbar^{2},
onde \ell é inteiro não negativo ( \ell=0,1,2,\dots).
  • Para um dado \ell, os possíveis autovalores de \vec{L}_{z} são
m\hbar,\quad m=-\ell,-\ell+1,\dots,\ell.
Outra ideia importante: as funções angulares sobre a esfera que são homogêneas de grau \ell (polinômios de grau \ell em x,y,z divididos por r^\ell) podem ser escritas como combinações lineares dos harmónicos esféricos complexos Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi). Em particular, polinômios homogêneos de grau 2 correspondem a combinação linear apenas de harmónicos com \ell=2. Isso significa que, se a parte angular da função é um polinômio de grau 2, ela pertence ao subespaço \ell=2 e, ao medir \vec{L}^{2}, obteremos o valor correspondente a \ell=2 com probabilidade 1.
Agora escrevemos a função em coordenadas esféricas para ver isso claramente. Usamos
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta,
e como r é fixo podemos tratar r como constante. Então
xy = r^{2}\sin^{2}\theta\cos\varphi\sin\varphi = \frac{r^{2}}{2}\sin^{2}\theta\sin(2\varphi),
yz = r^{2}\sin\theta\cos\theta\sin\varphi.
Portanto a parte angular de \psi é combinação de termos \sin^{2}\theta\sin(2\varphi) e \sin\theta\cos\theta\sin\varphi, que são funções angulares de grau 2 (grau igual ao total do polinômio em x,y,z). Conclusão imediata: a componente angular pertence exclusivamente a \ell=2.
Assim, ao medir \vec{L}^{2} obtemos o autovalor correspondente a \ell=2:
\ell(\ell+1)\hbar^{2}=2\cdot 3\hbar^{2}=6\hbar^{2}.

Passo 3

Agora precisamos da probabilidade de obter \vec{L}_{z}=2\hbar (isto é, m=+2) ao medir \vec{L}_{z}. Método: expandir a parte angular de \psi na base dos harmónicos esféricos Y_{2}^{m}(\theta,\varphi) e usar a norma desses coeficientes.
Primeiro lembrança/identidade útil dos harmónicos \ell=2 (formas complexas padrão):
Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)=K\,\sin^{2}\theta\,e^{2i\varphi},\qquad Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)=B\,\sin\theta\cos\theta\,e^{i\varphi},
com constantes de normalização
K=\sqrt{\frac{15}{32\pi}},\qquad B=\sqrt{\frac{15}{8\pi}}.
Note que as partes imaginárias desses harmónicos dão as combinações com \sin(2\varphi) e \sin\varphi que aparecem em xy e yz:
\sin^{2}\theta\sin(2\varphi)=\frac{1}{K}\,\Im\bigl(Y_{2}^{2}\bigr), \qquad \sin\theta\cos\theta\sin\varphi=\frac{1}{B}\,\Im\bigl(Y_{2}^{1}\bigr).
Reescrevendo \psi (ignorando o fator constante N r^{2} até normalizar):
\psi(\theta,\varphi)=N r^{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta\sin(2\varphi)+\sin\theta\cos\theta\sin\varphi\Bigr).
Usando as identidades acima,
\psi(\theta,\varphi)=N r^{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{K}\Im(Y_{2}^{2})+\frac{1}{B}\Im(Y_{2}^{1})\right).
Escrevendo \Im(Y_{\ell}^{m})=(Y_{\ell}^{m}-Y_{\ell}^{-m})/(2i), obtemos expansão na base complexa Y_{2}^{m}:
\psi=\!N r^{2}\!\left(\frac{1}{2K}\frac{Y_{2}^{2}-Y_{2}^{-2}}{2i}+\frac{1}{B}\frac{Y_{2}^{1}-Y_{2}^{-1}}{2i}\right).
Assim os coeficientes (na base Y_{2}^{m}) são, até fatores comuns:
C_{2}=N r^{2}\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{2K},\qquad C_{-2}= -N r^{2}\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{2K},
C_{1}=N r^{2}\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{B},\qquad C_{-1}= -N r^{2}\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{B},
e C_{0}=0.
Agora precisamos das magnitudes quadradas desses coeficientes para obter probabilidades. Observe que o fator comum |N r^{2}|^{2} aparece em todos os |C_{m}|^{2} e cancela quando normalizamos, então não precisamos conhecer N nem r.
Calculemos as quantidades reais \frac{1}{2K} e \frac{1}{B}. Usando os valores de K e B:
\frac{1}{2K}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{32\pi}{15}}=\sqrt{\frac{8\pi}{15}}, \qquad \frac{1}{B}=\sqrt{\frac{8\pi}{15}}.
Portanto as duas constantes valem o mesmo; chamemos esse valor de a:
a=\sqrt{\frac{8\pi}{15}}.
As magnitudes quadradas ficam então (os fatores 1/(2i) geram módulo 1/2):
|C_{2}|^{2}=|N r^{2}|^{2}\frac{a^{2}}{4},\quad |C_{-2}|^{2}=|N r^{2}|^{2}\frac{a^{2}}{4},
|C_{1}|^{2}=|N r^{2}|^{2}\frac{a^{2}}{4},\quad |C_{-1}|^{2}=|N r^{2}|^{2}\frac{a^{2}}{4},
e |C_{0}|^{2}=0.
A normalização (integral de |\psi|^{2} sobre a esfera) é a soma dessas magnitudes:
\sum_{m=-2}^{2}|C_{m}|^{2}=|N r^{2}|^{2}\left(4\cdot\frac{a^{2}}{4}\right)=|N r^{2}|^{2}a^{2}\cdot 1.
Logo a probabilidade de obter m=+2 é
P(m=2)=\frac{|C_{2}|^{2}}{\sum_{m}|C_{m}|^{2}} =\frac{|N r^{2}|^{2}\frac{a^{2}}{4}}{|N r^{2}|^{2}a^{2}} =\frac{1}{4}.
Intuição: a função angular se decompõe em quatro componentes (m=\pm1,\pm2) com módulos iguais, então cada uma tem probabilidade 1/4; não há componente m=0.

Passo 4

Recapitulando de forma direta e pronta para a prova:
  • A parte angular de \psi é um polinômio homogêneo de grau 2, portanto pertence ao subespaço \ell=2 dos harmónicos esféricos. Assim a única possibilidade para \vec{L}^{2} é o autovalor de \ell=2.
  • Expandindo em Y_{2}^{m} obtemos coeficientes não nulos apenas para m=\pm1,\pm2, todos com o mesmo módulo, daí a probabilidade de m=+2 ser 1/4.

Resposta

\; \vec{L}^{2}=6\hbar^{2}.\n \; P(\vec{L}_{z}=2\hbar)=\dfrac{1}{4}.

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