Uma partícula executa um movimento harmônico simples ao longo do eixo x em torno da origem 0. Sua amplitude é A; e seu período é 4,0 s. Assinale V para verdadeiro e F para falso nas afirmativas a seguir, em seguida assinale a alternativa que representa a ordem correta, de cima para baixo.
( ) A velocidade da partícula é nula quando x = 1 A.
( ) A frequência do movimento é 0,25 Hz.
( ) A aceleração da partícula é nula quando x = 1 A.
( ) A energia cinética da partícula no ponto x = 0 é nula.
( ) A energia mecânica total da partícula é igual à sua energia potencial quando x = 1 A.
( ) O módulo da força resultante na partícula é proporcional ao módulo de seu deslocamento em relação à origem.
( ) A velocidade da partícula é nula quando x = 1 A.
( ) A frequência do movimento é 0,25 Hz.
( ) A aceleração da partícula é nula quando x = 1 A.
( ) A energia cinética da partícula no ponto x = 0 é nula.
( ) A energia mecânica total da partícula é igual à sua energia potencial quando x = 1 A.
( ) O módulo da força resultante na partícula é proporcional ao módulo de seu deslocamento em relação à origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso exercício fala sobre uma partícula que faz um movimento harmônico simples (MHS) ao longo do eixo x, girando em torno da origem. A amplitude desse movimento é $ A $ e o período é de 4,0 segundos. Vamos analisar cada uma das afirmações para ver se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos como velocidade, frequência, aceleração, energia cinética, energia potencial e força resultante no contexto do MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição da partícula em função do tempo pode ser descrita pela equação:
onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ T $ é o período do movimento.
O período $ T $ é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação completa. A frequência $ f $ é o inverso do período:
Vamos calcular a frequência com base no período dado.
Passo 3
Dado que o período $ T = 4,0 $ s, a frequência $ f $ é:
Isso confirma nossa segunda afirmação: “A frequência do movimento é 0,25 Hz.” Portanto, essa afirmação é Verdadeira (V).
Passo 4
Agora, vamos analisar a velocidade da partícula. A velocidade $ v(t) $ no MHS é a derivada da posição em relação ao tempo:
A velocidade será nula quando o seno for zero, ou seja, nos pontos de máxima amplitude e na origem.
Quando $ x = A $, ou seja, na amplitude máxima, a velocidade é zero. Portanto, a primeira afirmação: “A velocidade da partícula é nula quando $ x = 1A $.” é Verdadeira (V).
Passo 5
Vamos verificar a aceleração da partícula. A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
A aceleração será nula quando o cosseno for zero, ou seja, na passagem pela origem $ x = 0 $. Quando $ x = A $, a aceleração máxima ocorre. Portanto, a terceira afirmação: “A aceleração da partícula é nula quando $ x = 1A $.” é Falsa (F).
Passo 6
Vamos para a energia cinética. A energia cinética $ K $ no MHS é dada por:
Na posição $ x = 0 $, a velocidade é máxima, então a energia cinética também é máxima. Portanto, a quarta afirmação: “A energia cinética da partícula no ponto $ x = 0 $ é nula.” é Falsa (F).
Passo 7
Agora, a energia mecânica total $ E $ no MHS é constante e igual à energia potencial máxima:
No ponto $ x = A $, toda a energia mecânica está na forma de energia potencial, então a energia potencial nesse ponto é igual à energia mecânica total. Portanto, a quinta afirmação: “A energia mecânica total da partícula é igual à sua energia potencial quando $ x = 1A $.” é Verdadeira (V).
Passo 8
Por último, a força resultante $ F $ no MHS é proporcional ao deslocamento $ x $ em relação à origem:
Isso mostra que o módulo da força é proporcional ao módulo do deslocamento. Portanto, a sexta afirmação: “O módulo da força resultante na partícula é proporcional ao módulo de seu deslocamento em relação à origem.” é Verdadeira (V).
Resposta
A sequência correta das afirmações é: V, V, F, F, V, V.