Uma partícula executa um movimento no plano xy com vetor velocidade V=4,0 t^2 imath+3,0 t^2 jmath, onde a velocidade é em metros por segundo e o tempo em segundos. Considerando que inicialmente a partícula encontrava-se na origem, o vetor posição da partícula no instante t=3,0 s é:
a) r=4,0 t+3,0 jmath.
b) r=36 hatt+27 j.
c) r=12 imath+3,0 j.
d) r=4,0 t+9,0 jmath.
e) r=12 imath+9,0 jmath.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano xy. A gente tem o vetor velocidade da partícula dado por:
V = 4,0, t^2 imath + 3,0, t^2 jmath
Aqui, t é o tempo em segundos e a velocidade está em metros por segundo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição da partícula no instante t = 3,0 s. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que nos permite encontrar a posição a partir da velocidade quando conhecemos a posição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição r(t) é a integral da velocidade V(t) em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa:
r(t) = integral V(t) , dt + r0
Onde r0 é a posição inicial da partícula. No nosso caso, a partícula começa na origem, então r0 = 0.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente.
Para a componente x:
x(t) = integral 4,0, t^2 , dt = 4,0 integral t^2 , dt = 4,0 ( t^33 ) + C
Como a posição inicial é zero, a constante de integração C = 0. Então:
x(t) = 4,03 t^3
Para a componente y:
y(t) = integral 3,0, t^2 , dt = 3,0 integral t^2 , dt = 3,0 ( t^33 ) + C
Novamente, C = 0, então:
y(t) = t^3

Passo 4

Agora, vamos calcular as posições x e y no instante t = 3,0 s.
Para x(3,0):
x(3,0) = 4,03 times (3)^3 = 4,03 times 27 = 4,0 times 9 = 36, m
Para y(3,0):
y(3,0) = (3)^3 = 27, m

Resposta

No instante t = 3,0 s, o vetor posição da partícula é:
r = 36, imath + 27, jmath
Portanto, a alternativa correta é a letra b).

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