Uma partícula executa um movimento no plano xy com vetor velocidade
, onde a velocidade é em metros por segundo e o tempo em segundos. Considerando que inicialmente a partícula encontrava-se na origem, o vetor posição da partícula no instante
s é:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano xy. A gente tem o vetor velocidade da partícula dado por:
Aqui,
é o tempo em segundos e a velocidade está em metros por segundo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição da partícula no instante
s. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que nos permite encontrar a posição a partir da velocidade quando conhecemos a posição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição
é a integral da velocidade
em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa:
Onde
é a posição inicial da partícula. No nosso caso, a partícula começa na origem, então
.
Passo 3
Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente.
Para a componente
:
Como a posição inicial é zero, a constante de integração
. Então:
Para a componente
:
Novamente,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as posições
e
no instante
s.
Para
:
Para
:
Resposta
No instante
s, o vetor posição da partícula é:
Portanto, a alternativa correta é a letra b).