A partícula da extremidade de um pêndulo simples de comprimento R descreve um arco de círculo. Considerando que a aceleração da partícula quando ela passa pela posição de equilíbrio é a do movimento círcular uniforme ( v^{2} / R ), mostre que a tração do fio naquela posição é m g\left(1+\Theta_{m}^{2}\right) se a amplitude angular \Theta_{m} é pequena. A traçāo em outras posições é maior, menor ou a mesma?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Uma massa m presa numa haste/corda de comprimento R descreve um pêndulo simples e oscila com amplitude angular \Theta_{m} (pequena).
  • Quando a partícula passa pela posição de equilíbrio (vertical, \theta=0) a sua aceleração radial é a do movimento circular: v^{2}/R.
    O que se pede:
  1. Mostrar que, para amplitude pequena \Theta_{m}, a tração do fio na posição de equilíbrio vale \;m g\left(1+\Theta_{m}^{2}\right).
  2. Dizer se a tração em outras posições é maior, menor ou a mesma (comparada à do equilíbrio).

Passo 2

Vamos achar a velocidade máxima v no fundo ( \theta=0) usando conservação de energia entre o ponto de amplitude \theta=\Theta_{m} (velocidade zero no instante de inversão) e o fundo \theta=0.
Primeiro calcule a variação de altura entre o ponto de amplitude e o fundo. A coordenada vertical da massa, relativa ao centro de oscilação, é y(\theta)= -R\cos\theta. A queda do ponto de amplitude \Theta_{m} até o fundo é
h = R\bigl(1-\cos\Theta_{m}\bigr).
Essa expressão vem de h = -R\cos0 - (-R\cos\Theta_{m}) = R(1-\cos\Theta_{m}).

Passo 3

Energia potencial perdida vira energia cinética no fundo. Igualando:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2}.
Substituindo h:
m g R\bigl(1-\cos\Theta_{m}\bigr) = \tfrac{1}{2}m v^{2}.
Cancela m e isolando v^{2}:
v^{2} = 2 g R\bigl(1-\cos\Theta_{m}\bigr).

Passo 4

Agora usamos a aproximação de pequeno ângulo para \Theta_{m}. Para x pequeno vale a série:
\cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando em x=\Theta_{m}:
1-\cos\Theta_{m} \approx \frac{\Theta_{m}^{2}}{2}.
Substituindo em v^{2}:
v^{2} \approx 2 g R\cdot\frac{\Theta_{m}^{2}}{2} = g R\,\Theta_{m}^{2}.

Passo 5

Equação radial (na posição \theta=0): as forças na direção radial (para o centro) são a tração T apontando para cima e o peso mg apontando para baixo; a resultante radial aponta para o centro e vale m v^{2}/R. Tomando para cima positivo:
T - mg = m\frac{v^{2}}{R}.
Isolando T e substituindo v^{2}:
T = mg + m\frac{v^{2}}{R} \approx mg + m\frac{gR\,\Theta_{m}^{2}}{R} = mg + mg\,\Theta_{m}^{2}.
Portanto
T \approx mg\bigl(1+\Theta_{m}^{2}\bigr),
como pedido.

Passo 6

Para entender o comportamento da tração em outras posições \theta (entre -\Theta_{m} e +\Theta_{m}) vamos obter T(\theta) de forma geral.
Energia entre amplitude \Theta_{m} e posição genérica \theta:
m g R\bigl(1-\cos\Theta_{m}\bigr)=\tfrac{1}{2}m v^{2} + m g R\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Isolando v^{2}:
v^{2}=2gR\bigl(\cos\theta-\cos\Theta_{m}\bigr).
Equação radial genérica: componente radial do peso é mg\cos\theta, então
T - mg\cos\theta = m\frac{v^{2}}{R}.
Substituindo v^{2}:
T = mg\cos\theta + 2mg\bigl(\cos\theta-\cos\Theta_{m}\bigr) = mg\bigl(3\cos\theta - 2\cos\Theta_{m}\bigr).

Passo 7

Analisando T(\theta)=mg\bigl(3\cos\theta - 2\cos\Theta_{m}\bigr) no intervalo \theta\in[0,\Theta_{m}]:
  • No fundo \theta=0 obtém-se T(0)=mg\bigl(3-2\cos\Theta_{m}\bigr), que para \Theta_{m} pequeno dá mg(1+\Theta_{m}^{2}) (recuperando o resultado).
  • No extremo \theta=\Theta_{m} a velocidade é zero e T(\Theta_{m})=mg\cos\Theta_{m}, que é menor que mg (para \Theta_{m}\neq0).
    Como \cos\theta decresce conforme \theta vai de 0 a \Theta_{m}, T(\theta) também decresce nesse intervalo. Logo a tração é máxima no fundo ( \theta=0) e mínima nas amplitudes ( \theta=\pm\Theta_{m}).

Resposta

T(0)=m g\bigl(1+\Theta_{m}^{2}\bigr)
A tração em outras posições é menor do que a do equilíbrio (a tração máxima ocorre no fundo e a mínima nas amplitudes, onde T(\Theta_{m})=mg\cos\Theta_{m}<mg).

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