A partícula da extremidade de um pêndulo simples de comprimento
descreve um arco de círculo. Considerando que a aceleração da partícula quando ela passa pela posição de equilíbrio é a do movimento círcular uniforme (
), mostre que a tração do fio naquela posição é
se a amplitude angular
é pequena. A traçāo em outras posições é maior, menor ou a mesma?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Uma massa
presa numa haste/corda de comprimento descreve um pêndulo simples e oscila com amplitude angular (pequena). - Quando a partícula passa pela posição de equilíbrio (vertical,
) a sua aceleração radial é a do movimento circular: .
O que se pede:
- Mostrar que, para amplitude pequena
, a tração do fio na posição de equilíbrio vale . - Dizer se a tração em outras posições é maior, menor ou a mesma (comparada à do equilíbrio).
Passo 2
Vamos achar a velocidade máxima
no fundo (
) usando conservação de energia entre o ponto de amplitude
(velocidade zero no instante de inversão) e o fundo
.
Primeiro calcule a variação de altura entre o ponto de amplitude e o fundo. A coordenada vertical da massa, relativa ao centro de oscilação, é
. A queda do ponto de amplitude
até o fundo é
Essa expressão vem de
.
Passo 3
Energia potencial perdida vira energia cinética no fundo. Igualando:
Substituindo
:
Cancela
e isolando
:
Passo 4
Agora usamos a aproximação de pequeno ângulo para
. Para
pequeno vale a série:
Aplicando em
:
Substituindo em
:
Passo 5
Equação radial (na posição
): as forças na direção radial (para o centro) são a tração
apontando para cima e o peso
apontando para baixo; a resultante radial aponta para o centro e vale
. Tomando para cima positivo:
Isolando
e substituindo
:
Portanto
como pedido.
Passo 6
Para entender o comportamento da tração em outras posições
(entre
e
) vamos obter
de forma geral.
Energia entre amplitude
e posição genérica
:
Isolando
:
Equação radial genérica: componente radial do peso é
, então
Substituindo
:
Passo 7
Analisando
no intervalo
:
- No fundo
obtém-se , que para pequeno dá (recuperando o resultado). - No extremo
a velocidade é zero e , que é menor que (para ).
Comodecresce conforme vai de a , também decresce nesse intervalo. Logo a tração é máxima no fundo ( ) e mínima nas amplitudes ( ).
Resposta
A tração em outras posições é menor do que a do equilíbrio (a tração máxima ocorre no fundo e a mínima nas amplitudes, onde
).