Seja
a constante de uma certa mola e
seu comprimento quando ela não sofro deformação. Esta mola é dividida em dois segmentos
e
(sem deformação), tais que:
. Obtenha as respectivas constantes,
e
, em termos de
e
. Verifique se o resultado é razoável para
.
Passo 1
O enunciado dá uma mola de constante
e comprimento natural
. Essa mola é cortada em dois pedaços (quando não deformados) com comprimentos
e
tais que
Pede-se obter as constantes elásticas
e
desses dois segmentos em termos de
e
, e verificar se o resultado faz sentido no caso
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a lei básica das molas (Hooke): para uma mola linear a força
e a deformação
estão relacionadas por
onde
é a constante da mola (rigidez). Aqui
mede quanto de força é preciso para produzir uma unidade de alongamento.
Passo 3
Agora a ideia física importante que precisamos: para uma mola uniforme a constante elástica é inversamente proporcional ao seu comprimento. Em palavras: quanto menor o comprimento do pedaço, mais rígido ele é. Vou justificar isso de forma simples e clara.
Considere a mola inteira como formada por
pedaços idênticos em série (cada pedaço tem comprimento
). Se cada pedaço tem constante
, então a combinação em série tem constante total
dada por
Isolando
obtemos
Como cada pedaço tem comprimento
, isto mostra que, fixando material e geometria, a constante de um pedaço é proporcional a
. Portanto, para qualquer segmento de comprimento
vale a relação geral de escala
Aqui
é a constante do segmento de comprimento
,
e
são da mola inteira.
Passo 4
Aplicando a relação de escala aos dois segmentos, temos
Agora usamos a condição
e
. Expressamos
e
em função de
e
. Como
segue que
Passo 5
Substituímos
e
nas fórmulas de
e
. Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos interpretar e checar: os resultados são
Verificação para
(pedaços iguais):
e
. Ou seja, cada metade tem constante
, isto é coerente fisicamente — cortar uma mola uniforme ao meio duplica a rigidez de cada metade, porque cada metade é duas vezes mais curta que a mola inteira.
Também é intuitivo observar limites: se
(isto é,
muito maior que
), então
(o segmento longo fica parecendo a mola inteira) e
(o segmento muito curto fica muito rígido). O domínio físico exige
.