Seja k a constante de uma certa mola e L seu comprimento quando ela não sofro deformação. Esta mola é dividida em dois segmentos L_{1} e L_{2} (sem deformação), tais que: L_{1}=n L_{2}. Obtenha as respectivas constantes, k_{1} e k_{2}, em termos de n e k. Verifique se o resultado é razoável para n=1.

Passo 1

O enunciado dá uma mola de constante k e comprimento natural L. Essa mola é cortada em dois pedaços (quando não deformados) com comprimentos L_{1} e L_{2} tais que
L_{1}=n L_{2}.
Pede-se obter as constantes elásticas k_{1} e k_{2} desses dois segmentos em termos de n e k, e verificar se o resultado faz sentido no caso n=1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a lei básica das molas (Hooke): para uma mola linear a força F e a deformação x estão relacionadas por
F = k x,
onde k é a constante da mola (rigidez). Aqui k mede quanto de força é preciso para produzir uma unidade de alongamento.

Passo 3

Agora a ideia física importante que precisamos: para uma mola uniforme a constante elástica é inversamente proporcional ao seu comprimento. Em palavras: quanto menor o comprimento do pedaço, mais rígido ele é. Vou justificar isso de forma simples e clara.
Considere a mola inteira como formada por m pedaços idênticos em série (cada pedaço tem comprimento L/m). Se cada pedaço tem constante k_{\text{peca}}, então a combinação em série tem constante total k dada por
\frac{1}{k} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{k_{\text{peca}}} = \frac{m}{k_{\text{peca}}}.
Isolando k_{\text{peca}} obtemos
k_{\text{peca}} = m\,k.
Como cada pedaço tem comprimento L/m, isto mostra que, fixando material e geometria, a constante de um pedaço é proporcional a 1/(\text{comprimento do pedaço})ç. Portanto, para qualquer segmento de comprimento L' vale a relação geral de escala
k' = k \cdot \frac{L}{L'}.
Aqui k' é a constante do segmento de comprimento L', k e L são da mola inteira.

Passo 4

Aplicando a relação de escala aos dois segmentos, temos
k_{1} = k\cdot\frac{L}{L_{1}},\qquad k_{2} = k\cdot\frac{L}{L_{2}}.
Agora usamos a condição L_{1}=nL_{2} e L=L_{1}+L_{2}. Expressamos L_{1} e L_{2} em função de L e n. Como
L = L_{1}+L_{2} = nL_{2}+L_{2} = (n+1)L_{2},
segue que
L_{2} = \frac{L}{n+1},\qquad L_{1} = nL_{2} = \frac{nL}{n+1}.

Passo 5

Substituímos L_{1} e L_{2} nas fórmulas de k_{1} e k_{2}. Para k_{1}:
k_{1} = k\cdot\frac{L}{L_{1}} = k\cdot\frac{L}{\dfrac{nL}{n+1}} = k\cdot\frac{n+1}{n}.
Para k_{2}:
k_{2} = k\cdot\frac{L}{L_{2}} = k\cdot\frac{L}{\dfrac{L}{n+1}} = k\cdot(n+1).

Passo 6

Vamos interpretar e checar: os resultados são
k_{1} = k\cdot\frac{n+1}{n},\qquad k_{2} = k\cdot(n+1).
Verificação para n=1 (pedaços iguais): k_{1}=k\cdot\dfrac{1+1}{1}=2k e k_{2}=k\cdot(1+1)=2k. Ou seja, cada metade tem constante 2k, isto é coerente fisicamente — cortar uma mola uniforme ao meio duplica a rigidez de cada metade, porque cada metade é duas vezes mais curta que a mola inteira.
Também é intuitivo observar limites: se n\to\infty (isto é, L_{1} muito maior que L_{2}), então k_{1}\to k (o segmento longo fica parecendo a mola inteira) e k_{2}\to\infty (o segmento muito curto fica muito rígido). O domínio físico exige n>0.

Resposta

k_{1}=k\cdot\frac{n+1}{n}
k_{2}=k\cdot(n+1)

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