Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão vec{v}(t)=\left(3,00 t^{2}-2,00 t+5,00\right) \hat{i}+(5,00 t-10,0) \hat{j}+2,00 \hat{k} sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante \mathrm{t}=0 a partícula se encontra em vec{r}(0)=10,0 \hat{i}-2,00 \hat{j}+5,00 \hat{k} (a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA2) A aceleração em t=5,00 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula e a posição inicial (esta última não será necessária para a aceleração). Os dados fornecidos são:
  • Velocidade:
\vec{v}(t)=\left(3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00\right)\hat{i}+\left(5,00\,t-10,0\right)\hat{j}+2,00\hat{k}
  • Posição inicial (não usada aqui):
\vec{r}(0)=10,0\hat{i}-2,00\hat{j}+5,00\hat{k}
O que o enunciado pede (objetivo claro):
  • Determinar a aceleração em t=5,00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e ideia para a prova (sem pânico — é só derivada):
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em fórmula:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
  • Derivada de um vetor é feita componente a componente: deriva-se a componente em \hat{i}, depois a em \hat{j} e depois a em \hat{k}.
  • Regras rápidas de derivação que vamos usar:
    • Derivada de a\,t^{n} é n\,a\,t^{n-1}.
    • Derivada de b\,t+c é b.
    • Derivada de constante é 0.
      Exemplo rápido: derivando 3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00 aplicando a regra potência: sobe o expoente 2 e multiplica 3,00 por 2, etc.

Passo 3

Calcular simbolicamente a aceleração componente a componente:
  • Componente \hat{i}:
\frac{d}{dt}\big(3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00\big)=6,00\,t-2,00.
  • Componente \hat{j}:
\frac{d}{dt}\big(5,00\,t-10,0\big)=5,00.
  • Componente \hat{k}:
\frac{d}{dt}\big(2,00\big)=0,00.
Portanto, em forma simbólica:
\vec{a}(t)=\big(6,00\,t-2,00\big)\hat{i}+5,00\hat{j}+0,00\hat{k}.

Passo 4

Avaliar as componentes em t=5,00\\ \mathrm{s}:
  • Para \hat{i}: 6,00\cdot 5,00-2,00=30,00-2,00=28,00.
  • Para \hat{j}: 5,00 (constante).
  • Para \hat{k}: 0,00 (constante).
    Anotando os valores numéricos das componentes: a_i(5,00)=28,00, a_j(5,00)=5,00, a_k(5,00)=0,00. Força-te a lembrar: derivada de quadrática dá linear, de linear dá constante, de constante dá zero — é essa lógica que usaste.

Passo 5

Interpretação curta (ânimo!): a aceleração em t=5,00\\ \mathrm{s} tem componente grande na direção \hat{i}, pequena constante em \hat{j} e nula em \hat{k}. Isso significa que a partícula está acelerando bastante ao longo de \hat{i}, movendo-se com aumento de velocidade nessa direção.

Resposta

\vec{a}(5,00\\ \mathrm{s})=28,00\\ \hat{i}+5,00\\ \hat{j}+0,00\\ \hat{k}\\ \text{m/s}^{2}

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