Uma partícula que se movimenta num campo elétrico tem velocidade dada pela equação vec{v}=(3,0 t+2,0) \hat{i}+\left(2,0 t^{2}+5,0 t-10\right) \hat{j}+10 \hat{k} sendo a velocidade medida em \mathrm{m} / \mathrm{s} e o tempo em segundos. A posição da partícula no é vec{r}(0)=5,0 \hat{i}-3,0 \hat{j}+4,0 \hat{k}(\mathrm{~m}). Determine:
(RA1) Qual o comportamento da aceleração em cada direção x, y e z ?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula e a posição inicial (posição inicial não é necessária para RA1). Vou transcrever claramente a informação que usarei (peguei os coeficientes da expressão do enunciado):
  • Velocidade:
\vec{v}(t) = (3,0\,t + 2,0)\,\hat{i} + (2,0\,t^{2} + 5,0\,t - 10)\,\hat{j} + 10\,\hat{k},
com velocidade em \mathrm{m/s} e tempo em s.
  • Posição inicial (informação fornecida, não usada aqui):
\vec{r}(0)=5,0\,\hat{i}-3,0\,\hat{j}+4,0\,\hat{k}\\ (\mathrm{m}).
O que a pergunta (RA1) pede:
  • Determinar o comportamento da aceleração em cada direção x, y e z.

Passo 2

Conceito que vou usar (explicação curta e prática):
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Regras de derivação usadas (lembrete):
  • Derivada de uma constante é 0.
  • Derivada de c\,t é c (onde c é constante).
  • Derivada de c\,t^{2} é 2c\,t.
    Aplicando isso componente a componente obtemos a aceleração nas direções x,y,z.

Passo 3

Cálculo da componente x:
A componente x da velocidade é v_x(t)=3,0\,t+2,0.
Derivando em relação a t:
a_x(t)=\frac{d}{dt}(3,0\,t+2,0)=\frac{d}{dt}(3,0\,t)+\frac{d}{dt}(2,0)=3,0+0=3,0.
Interpretação: a_x é constante e igual a 3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Cálculo da componente y:
A componente y da velocidade é v_y(t)=2,0\,t^{2}+5,0\,t-10.
Derivando em relação a t:
a_y(t)=\frac{d}{dt}(2,0\,t^{2}+5,0\,t-10)=\frac{d}{dt}(2,0\,t^{2})+\frac{d}{dt}(5,0\,t)+\frac{d}{dt}(-10).
Usando a regra do poder e constantes:
\frac{d}{dt}(2,0\,t^{2})=2\cdot2,0\,t=4,0\,t,\qquad \frac{d}{dt}(5,0\,t)=5,0,\qquad \frac{d}{dt}(-10)=0.
Logo
a_y(t)=4,0\,t+5,0.
Interpretação: a_y varia linearmente com o tempo; por exemplo, em t=0 vale a_y(0)=5,0\\ \mathrm{m/s^{2}} e cresce com taxa 4,0\\ \mathrm{m/s^{3}} (coeficiente de t).

Passo 5

Cálculo da componente z:
A componente z da velocidade é v_z(t)=10 (constante).
Derivando:
a_z(t)=\frac{d}{dt}(10)=0.
Interpretação: não há aceleração na direção z; a velocidade em z é constante.

Passo 6

Resumo físico e observações úteis para prova:
  • a_x constante ( 3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}) → movimento com aceleração uniforme em x.
  • a_y dependente do tempo ( 4,0\,t+5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}) → aceleração que muda linearmente; implica que a velocidade em y tem termo quadrático (coisa que já vemos em v_y).
  • a_z=0 → movimento uniforme em z (velocidade constante 10\\ \mathrm{m/s} em z).
    Dica para prova: derive componente a componente, aplicando as regras básicas (constante, regra do poder) — é rápido e direto.

Resposta

a_x=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}
a_y=4,0\,t+5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}
a_z=0\\ \mathrm{m/s^{2}}

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