Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão vec{v}(t)=\left(3,00 t^{2}-2,00 t+5,00\right) \hat{i}+(5,00 t-10,0) \hat{j}+2,00 \hat{k} sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante \mathrm{t}=0 a partícula se encontra em vec{r}(0)=10,0 \hat{i}-2,00 \hat{j}+5,00 \hat{k} (a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA2) O vetor velocidade, seu módulo e sua direção em t=2,00 \mathrm{~s};

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores do enunciado):
  • Velocidade dependente do tempo: \vec{v}(t)=\left(3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00\right)\hat{i}+\left(5,00\,t-10,0\right)\hat{j}+2,00\hat{k}. A unidade é \mathrm{m/s}.
  • Posição inicial \vec{r}(0)=10,0\hat{i}-2,00\hat{j}+5,00\hat{k} (informação fornecida, mas não necessária para esta pergunta).
    O que se pede especificamente (em t=2,00\\ \mathrm{s}):
  • O vetor velocidade \vec{v}(2,00).
  • O módulo (norma) |\vec{v}(2,00)|.
  • A direção de \vec{v}(2,00) (vamos representar pela versor/unitário na direção de \vec{v}).

Passo 2

Avaliar cada componente da velocidade em \,t=2,00\\ \mathrm{s}.
  • Componente x:
v_x(t)=3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00.
Substituindo t=2,00:
v_x(2,00)=3,00\cdot(2,00)^{2}-2,00\cdot(2,00)+5,00.
Calcule passo a passo:
(2,00)^{2}=4,00,
3,00\cdot4,00=12,00,
2,00\cdot2,00=4,00,
v_x(2,00)=12,00-4,00+5,00=13,00.
  • Componente y:
v_y(t)=5,00\,t-10,0.
Substituindo t=2,00:
v_y(2,00)=5,00\cdot2,00-10,0=10,00-10,00=0,00.
  • Componente z:
v_z(t)=2,00\quad\text{(constante)},
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v_z(2,00)=2,00.

Passo 3

Escrever o vetor velocidade em t=2,00\\ \mathrm{s}:
\vec{v}(2,00)=13,00\,\hat{i}+0,00\,\hat{j}+2,00\,\hat{k}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Calcular o módulo (norma) do vetor. Lembrete: para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) o módulo é dado por
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}},
onde v_x,v_y,v_z são as componentes cartesianas do vetor. Aqui v_x=13,00, v_y=0,00, v_z=2,00. Então:
|\vec{v}(2,00)|=\sqrt{(13,00)^{2}+(0,00)^{2}+(2,00)^{2}}=\sqrt{169,00+0,00+4,00}=\sqrt{173,00}.
Aproximação numérica:
\sqrt{173,00}\approx13,15\\ \mathrm{m/s}.
(Se for desejar mais casas: \sqrt{173}\approx13,152946\ldots, arredondei para duas casas decimais compatíveis com os dados.)

Passo 5

Determinar a direção como o versor (vetor unitário) na direção de \vec{v}. Definição: o versor \hat{u} é
\hat{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|},
ou seja divide-se cada componente pelo módulo. Usando |\vec{v}(2,00)|=\sqrt{173}:
\hat{u}(2,00)=\frac{1}{\sqrt{173}}\left(13,00\,\hat{i}+0,00\,\hat{j}+2,00\,\hat{k}\right).
Componentes numéricas:
\hat{u}_x=\frac{13,00}{\sqrt{173}}\approx0,9885,\qquad \hat{u}_y=\frac{0,00}{\sqrt{173}}=0,0000,\qquad \hat{u}_z=\frac{2,00}{\sqrt{173}}\approx0,1521.
Portanto o versor (direção) é aproximadamente
\hat{u}(2,00)\approx0,9885\,\hat{i}+0,0000\,\hat{j}+0,1521\,\hat{k}.
Observação motivadora: o componente em y é zero, então a velocidade está no plano x\!-\!z naquele instante; a maior contribuição é na direção x.

Resposta

\vec{v}(2,00)=13,00\,\hat{i}+0,00\,\hat{j}+2,00\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}
|\vec{v}(2,00)|=\sqrt{173}\\ \mathrm{m/s}\approx13,15\\ \mathrm{m/s}
\hat{u}(2,00)=\dfrac{1}{\sqrt{173}}\left(13,00\,\hat{i}+0,00\,\hat{j}+2,00\,\hat{k}\right)\approx0,9885\,\hat{i}+0,0000\,\hat{j}+0,1521\,\hat{k}

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