Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão vec{v}(t)=\left(3,00 t^{2}-2,00 t+5,00\right) \hat{i}+(5,00 t-10,0) \hat{j}+2,00 \hat{k} sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante \mathrm{t}=0 a partícula se encontra em vec{r}(0)=10,0 \hat{i}-2,00 \hat{j}+5,00 \hat{k} (a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA1) Classifique o tipo de movimento que ocorre nas direções x, y e z.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula como função do tempo e a posição inicial. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado):
  • Velocidade:
\vec{v}(t)=\bigl(3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00\bigr)\hat{i}+\bigl(5,00\,t-10,0\bigr)\hat{j}+2,00\,\hat{k}.
  • Posição inicial (em t=0):
\vec{r}(0)=10,0\,\hat{i}-2,00\,\hat{j}+5,00\,\hat{k}.
  • Pergunta (RA1): classificar o tipo de movimento que ocorre nas direções x, y e z.

Passo 2

Estratégia e uma pequena aula rápida: para classificar o tipo de movimento em cada direção (cada componente), a ideia é olhar se a velocidade dessa componente é constante, ou se a aceleração (derivada da velocidade) é constante ou variável.
  • Se a velocidade de uma componente é constante ( \dfrac{d v}{dt}=0), o movimento é movimento retilíneo uniforme (MRU) nessa direção.
  • Se a aceleração é constante e diferente de zero ( \dfrac{d v}{dt}= constante \neq0), o movimento é movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) nessa direção.
  • Se a aceleração depende de t (não é constante), então o movimento é retilíneo com aceleração variável (não-MRUV).
Regra de cálculo utilizada (derivada de polinômio): se v(t)=a\,t^{n} então \dfrac{dv}{dt}=n\,a\,t^{n-1}. Constantes têm derivada zero.
Agora vamos calcular explicitamente a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt} componente a componente.

Passo 3

Calcular \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}.
  • Componente x:
v_x(t)=3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00.
Derivando termo a termo:
\frac{dv_x}{dt}=6,00\,t-2,00.
Logo
a_x(t)=6,00\,t-2,00\quad\text{(m/s}^2\text{).}
  • Componente y:
v_y(t)=5,00\,t-10,0.
Derivando:
\frac{dv_y}{dt}=5,00.
Logo
a_y(t)=5,00\quad\text{(m/s}^2\text{), constante.}
  • Componente z:
v_z(t)=2,00.
Derivando:
\frac{dv_z}{dt}=0.
Logo
a_z(t)=0\quad\text{(m/s}^2\text{).}

Passo 4

Interpretação e classificação com explicações simples:
  • Direção x: \;a_x(t)=6,00\,t-2,00 depende de t (é uma função linear de t), portanto a aceleração não é constante. Isso significa que a velocidade em x varia de forma não linear (tem termo t^{2} na velocidade) e o movimento na direção x é um movimento retilíneo com aceleração variável (não é MRU nem MRUV). Em provas é aceitável dizer: “movimento com aceleração não constante” ou “movimento retilíneo com aceleração dependente do tempo”.
  • Direção y: \;a_y(t)=5,00 é constante e diferente de zero. Isso é o caso clássico de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) na direção y. A aceleração vale 5,00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção z: \;a_z(t)=0 indica que a velocidade em z é constante ( v_z=2,00\\ \mathrm{m/s}). Portanto o movimento na direção z é movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade 2,00\\ \mathrm{m/s}.
Complemento prático (útil na prova): se quiser ver as posições, basta integrar cada componente de velocidade e somar a condição inicial. Por exemplo,
r_x(t)=\int v_x(t)\,dt = 1,00\,t^{3}-1,00\,t^{2}+5,00\,t + C_x,
e usando r_x(0)=10,0 obtém-se C_x=10,0, portanto
r_x(t)=1,00\,t^{3}-1,00\,t^{2}+5,00\,t+10,0.
Para y:
r_y(t)=\int v_y(t)\,dt = 2,50\,t^{2}-10,0\,t + C_y,
usando r_y(0)=-2,00 vem C_y=-2,00, então r_y(t)=2,50\,t^{2}-10,0\,t-2,00.
Para z:
r_z(t)=\int v_z(t)\,dt = 2,00\,t + C_z,
com C_z=5,00 (pela condição inicial), então r_z(t)=2,00\,t+5,00.
Essas integrais mostram de forma clara por que x tem comportamento cúbico (aceleração variável), y quadrático (aceleração constante) e z linear (velocidade constante).

Resposta

x: movimento retilíneo com aceleração variável ( a_x(t)=6,00\,t-2,00 ).
y: movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), com a_y=5,00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
z: movimento retilíneo uniforme (MRU), com v_z=2,00\\ \mathrm{m/s}.

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