Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão vec{v}(t)=\left(3,00 t^{2}-2,00 t+5,00\right) \hat{i}+(5,00 t-10,0) \hat{j}+2,00 \hat{k} sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante \mathrm{t}=0 a partícula se encontra em vec{r}(0)=10,0 \hat{i}-2,00 \hat{j}+5,00 \hat{k} (a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA2) O módulo da velocidade média entre t=0 e t=2,00 \mathrm{~s};

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (pegar todos os dados importantes):
  • A velocidade da partícula é dada por \vec{v}(t)=\bigl(3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00\bigr)\hat{i}+\bigl(5,00\,t-10,0\bigr)\hat{j}+2,00\hat{k}, em metros por segundo, com t em segundos.
  • A posição inicial é \vec{r}(0)=10,0\hat{i}-2,00\hat{j}+5,00\hat{k} (metros). (Esse dado pode ser usado como verificação se for preciso.)
  • O intervalo de tempo é de t=0 até t=2,00\\ \text{s}.
  • O que pedem: o módulo da velocidade média entre t=0 e t=2,00\\ \text{s}. Ou seja, primeiro achar a velocidade média vetorial no intervalo e depois o seu módulo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A velocidade média vetorial \vec{v}_{\text{m}} em um intervalo [t_1,t_2] é definida como a variação da posição dividida pelo tempo:
\vec{v}_{\text{m}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}.
  • Como \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}, a variação \Delta\vec{r} pode ser obtida integrando \vec{v}(t):
\Delta\vec{r}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{v}(t)\,dt.
  • Portanto, para o nosso caso [0,2,00]:
\vec{v}_{\text{m}}=\frac{1}{2,00}\int_{0}^{2,00}\vec{v}(t)\,dt.
Vou calcular a integral componente a componente (isso dá a variação de cada coordenada), dividir por 2,00 e depois calcular o módulo.

Passo 3

Integrando a componente x:
  • A componente x da velocidade é v_x(t)=3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00.
  • Antiderivada (prenda rápida: \int t^{n}dt=t^{n+1}/(n+1), \int a\,dt=a\,t para constante a):
\int\bigl(3,00\,t^{2}-2,00\,t+5,00\bigr)\,dt =3,00\cdot\frac{t^{3}}{3}-2,00\cdot\frac{t^{2}}{2}+5,00\,t = t^{3}-t^{2}+5,00\,t.
  • Avaliando de 0 a 2,00:
\Delta x = \bigl[t^{3}-t^{2}+5,00\,t\bigr]_{0}^{2,00}= (8-4+10)=14\\ \text{m}.

Passo 4

Integrando a componente y:
  • A componente y é v_y(t)=5,00\,t-10,0.
  • Antiderivada:
\int(5,00\,t-10,0)\,dt = 5,00\cdot\frac{t^{2}}{2}-10,0\,t = \tfrac{5,00}{2}t^{2}-10,0\,t.
  • Avaliando de 0 a 2,00:
\Delta y = \left[\tfrac{5,00}{2}t^{2}-10,0\,t\right]_{0}^{2,00} = \left(\tfrac{5,00}{2}\cdot 4 -20,0\right)= (10,0-20,0)=-10\\ \text{m}.

Passo 5

Integrando a componente z:
  • A componente z é constante v_z(t)=2,00.
  • Antiderivada:
\int 2,00\,dt = 2,00\,t.
  • Avaliando de 0 a 2,00:
\Delta z = [2,00\,t]_{0}^{2,00}=2,00\cdot 2,00=4,00\\ \text{m}.

Passo 6

Escrever o vetor deslocamento e a velocidade média vetorial:
  • Deslocamento:
\Delta\vec{r} = 14,0\hat{i}-10,0\hat{j}+4,00\hat{k}\\ \text{(m)}.
  • Velocidade média vetorial no intervalo de 2,00\\ \text{s}:
\vec{v}_{\text{m}}=\frac{\Delta\vec{r}}{2,00} = \bigl(7,00\hat{i}-5,00\hat{j}+2,00\hat{k}\bigr)\\ \text{(m/s)}.

Passo 7

Calcular o módulo da velocidade média (a parte final e numérica):
  • Fórmula do módulo de um vetor \vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k} é
\lVert\vec{a}\rVert=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}.
  • Aplicando a \vec{v}_{\text{m}}=(7,00,-5,00,2,00):
\lVert\vec{v}_{\text{m}}\rVert=\sqrt{7,00^{2}+(-5,00)^{2}+2,00^{2}} =\sqrt{49,0+25,0+4,00}=\sqrt{78,0}.
  • Aproximação numérica (duas casas decimais, adequada para prova):
\sqrt{78,0}\approx 8,83\\ \text{m/s}.

Passo 8

Pequena verificação (opcional, para aumentar confiança):
  • Podemos calcular \vec{r}(2,00)=\vec{r}(0)+\Delta\vec{r}=(10,0+14,0)\hat{i}+(-2,00-10,0)\hat{j}+(5,00+4,00)\hat{k}=24,0\hat{i}-12,0\hat{j}+9,00\hat{k}. Isso confirma a consistência entre a integral da velocidade e a posição inicial dada.

Resposta

\lVert\vec{v}_{\text{m}}\rVert=\sqrt{78,0}\\ \text{m/s}\approx 8,83\\ \text{m/s}

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