Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão
sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante
a partícula se encontra em
(a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA2) O módulo da velocidade média entre
e
;
(RA2) O módulo da velocidade média entre
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (pegar todos os dados importantes):
- A velocidade da partícula é dada por
, em metros por segundo, com em segundos. - A posição inicial é
(metros). (Esse dado pode ser usado como verificação se for preciso.) - O intervalo de tempo é de
até . - O que pedem: o módulo da velocidade média entre
e . Ou seja, primeiro achar a velocidade média vetorial no intervalo e depois o seu módulo.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
- A velocidade média vetorial
em um intervalo é definida como a variação da posição dividida pelo tempo:
- Como
, a variação pode ser obtida integrando :
- Portanto, para o nosso caso
:
Vou calcular a integral componente a componente (isso dá a variação de cada coordenada), dividir por
e depois calcular o módulo.
Passo 3
Integrando a componente
:
- A componente
da velocidade é . - Antiderivada (prenda rápida:
, para constante ):
- Avaliando de
a :
Passo 4
Integrando a componente
:
- A componente
é . - Antiderivada:
- Avaliando de
a :
Passo 5
Integrando a componente
:
- A componente
é constante . - Antiderivada:
- Avaliando de
a :
Passo 6
Escrever o vetor deslocamento e a velocidade média vetorial:
- Deslocamento:
- Velocidade média vetorial no intervalo de
:
Passo 7
Calcular o módulo da velocidade média (a parte final e numérica):
- Fórmula do módulo de um vetor
é
- Aplicando a
:
- Aproximação numérica (duas casas decimais, adequada para prova):
Passo 8
Pequena verificação (opcional, para aumentar confiança):
- Podemos calcular
. Isso confirma a consistência entre a integral da velocidade e a posição inicial dada.