Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão vec{v}(t)=\left(3,00 t^{2}-2,00 t+5,00\right) \hat{i}+(5,00 t-10,0) \hat{j}+2,00 \hat{k} sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante \mathrm{t}=0 a partícula se encontra em vec{r}(0)=10,0 \hat{i}-2,00 \hat{j}+5,00 \hat{k} (a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA2) O módulo do vetor posição em t=2,00 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula e a posição inicial, e pergunta o módulo do vetor posição no instante t=2{,}00\\ \text{s}.
Informações fornecidas (peguei tudo do enunciado):
  • Velocidade: \displaystyle \vec{v}(t)=\bigl(3{,}00\,t^{2}-2{,}00\,t+5{,}00\bigr)\hat{i}+\bigl(5{,}00\,t-10{,}0\bigr)\hat{j}+2{,}00\,\hat{k}, em metros por segundo.
  • Posição inicial: \displaystyle \vec{r}(0)=10{,}0\,\hat{i}-2{,}00\,\hat{j}+5{,}00\,\hat{k}, em metros.
  • Pergunta: calcular o módulo de \vec{r} em t=2{,}00\\ \text{s}, isto é \bigl|\vec{r}(2{,}00)\bigr|.

Passo 2

Relação entre posição e velocidade (mini-aula rápida e prática):
  • A velocidade é a derivada da posição: \displaystyle \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
  • Logo, a posição em função do tempo é dada por integrar a velocidade e somar a condição inicial:
\displaystyle \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\int_{0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'.
  • Para integrar polinômios simples, use a regra: se \displaystyle \int a\,t^{n}\,dt então o resultado é \displaystyle a\frac{t^{n+1}}{n+1}. Aqui a é uma constante (por exemplo 3{,}00) e n é o expoente (por exemplo 2). Vou aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Integrando a componente \hat{i} (passo a passo):
  • A componente x da velocidade é \displaystyle v_x(t)=3{,}00\,t^{2}-2{,}00\,t+5{,}00.
  • Antiderivada (integral indefinida) peça a peça:
\int 3{,}00\,t^{2}\,dt = 3{,}00\cdot\frac{t^{3}}{3}=1{,}00\,t^{3},
\int -2{,}00\,t\,dt = -2{,}00\cdot\frac{t^{2}}{2}=-1{,}00\,t^{2},
\int 5{,}00\,dt = 5{,}00\,t.
  • Portanto o deslocamento em x de 0 até t é \displaystyle 1{,}00\,t^{3}-1{,}00\,t^{2}+5{,}00\,t.
  • Somando a posição inicial x(0)=10{,}0, obtemos
\displaystyle x(t)=10{,}0+1{,}00\,t^{3}-1{,}00\,t^{2}+5{,}00\,t.

Passo 4

Integrando a componente \hat{j}:
  • A componente y da velocidade é \displaystyle v_y(t)=5{,}00\,t-10{,}0.
  • Antiderivadas:
\int 5{,}00\,t\,dt = 5{,}00\cdot\frac{t^{2}}{2}=2{,}50\,t^{2},
\int -10{,}0\,dt = -10{,}0\,t.
  • Deslocamento em y é \displaystyle 2{,}50\,t^{2}-10{,}0\,t.
  • Somando y(0)=-2{,}00, obtemos
\displaystyle y(t)=-2{,}00+2{,}50\,t^{2}-10{,}0\,t.

Passo 5

Integrando a componente \hat{k}:
  • A componente z da velocidade é constante: \displaystyle v_z(t)=2{,}00.
  • Antiderivada:
\int 2{,}00\,dt = 2{,}00\,t.
  • Somando z(0)=5{,}00, temos
\displaystyle z(t)=5{,}00+2{,}00\,t.

Passo 6

Avaliar as componentes em t=2{,}00\\ \text{s} (cálculo detalhado):
  • Para x(2{,}00):
\displaystyle x(2{,}00)=10{,}0+1{,}00\cdot(2{,}00)^{3}-1{,}00\cdot(2{,}00)^{2}+5{,}00\cdot(2{,}00).
Calcule termo a termo:
(2{,}00)^{3}=8{,}00,\quad (2{,}00)^{2}=4{,}00,
x(2{,}00)=10{,}0+1{,}00\cdot8{,}00-1{,}00\cdot4{,}00+5{,}00\cdot2{,}00=10{,}0+8{,}00-4{,}00+10{,}0=24{,}0\\ \text{m}.
  • Para y(2{,}00):
\displaystyle y(2{,}00)=-2{,}00+2{,}50\cdot(2{,}00)^{2}-10{,}0\cdot(2{,}00).
(2{,}00)^{2}=4{,}00,
y(2{,}00)=-2{,}00+2{,}50\cdot4{,}00-10{,}0\cdot2{,}00=-2{,}00+10{,}0-20{,}0=-12{,}0\\ \text{m}.
  • Para z(2{,}00):
\displaystyle z(2{,}00)=5{,}00+2{,}00\cdot2{,}00=5{,}00+4{,}00=9{,}00\\ \text{m}.
Portanto \displaystyle \vec{r}(2{,}00) = 24{,}0\,\hat{i}-12{,}0\,\hat{j}+9{,}00\,\hat{k}.

Passo 7

Calcular o módulo \bigl|\vec{r}(2{,}00)\bigr| (fórmula e cálculo):
  • Fórmula do módulo de um vetor em 3D:
\displaystyle \bigl|\vec{r}(t)\bigr|=\sqrt{x(t)^{2}+y(t)^{2}+z(t)^{2}}.
  • Substituindo os valores encontrados:
\displaystyle \bigl|\vec{r}(2{,}00)\bigr|=\sqrt{(24{,}0)^{2}+(-12{,}0)^{2}+(9{,}00)^{2}}.
  • Calcule as potências:
(24{,}0)^{2}=576{,} \quad (-12{,}0)^{2}=144{,}\quad (9{,}00)^{2}=81{,}
\displaystyle \bigl|\vec{r}(2{,}00)\bigr|=\sqrt{576+144+81}=\sqrt{801}.
  • Avaliando numericamente \sqrt{801}\approx 28{,}3\\ \text{m} (arredondando a uma casa decimal, coerente com os algarismos dados no enunciado).
Força final de ânimo: você já fez a parte mais chata — integração — agora é só aritmética; tá indo bem!

Resposta

\displaystyle 28{,}3\\ \text{m}

Exercícios relacionados