Uma partícula imersa num campo elétrico descreve um movimento com velocidade dada pela expressão vec{v}(t)=\left(3,00 t^{2}-2,00 t+5,00\right) \hat{i}+(5,00 t-10,0) \hat{j}+2,00 \hat{k} sendo a velocidade medida em metros por segundo e o tempo em segundos. Sabe-se que no instante \mathrm{t}=0 a partícula se encontra em vec{r}(0)=10,0 \hat{i}-2,00 \hat{j}+5,00 \hat{k} (a posição medida em metros). Com base nesses dados, determinar:
(RA2) O módulo do vetor posição em t=2,00 \mathrm{~s};
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade da partícula e a posição inicial, e pergunta o módulo do vetor posição no instante t=2{,}00\\ \text{s}.
Informações fornecidas (peguei tudo do enunciado):
Velocidade: \displaystyle \vec{v}(t)=\bigl(3{,}00\,t^{2}-2{,}00\,t+5{,}00\bigr)\hat{i}+\bigl(5{,}00\,t-10{,}0\bigr)\hat{j}+2{,}00\,\hat{k}, em metros por segundo.
Posição inicial: \displaystyle \vec{r}(0)=10{,}0\,\hat{i}-2{,}00\,\hat{j}+5{,}00\,\hat{k}, em metros.
Pergunta: calcular o módulo de \vec{r} em t=2{,}00\\ \text{s}, isto é \bigl|\vec{r}(2{,}00)\bigr|.
Passo 2
Relação entre posição e velocidade (mini-aula rápida e prática):
A velocidade é a derivada da posição: \displaystyle \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Logo, a posição em função do tempo é dada por integrar a velocidade e somar a condição inicial:
Para integrar polinômios simples, use a regra: se \displaystyle \int a\,t^{n}\,dt então o resultado é \displaystyle a\frac{t^{n+1}}{n+1}. Aqui a é uma constante (por exemplo 3{,}00) e n é o expoente (por exemplo 2). Vou aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Integrando a componente \hat{i} (passo a passo):
A componente x da velocidade é \displaystyle v_x(t)=3{,}00\,t^{2}-2{,}00\,t+5{,}00.