Uma partícula que está incialmente em repouso e na origem se move ao longo do eixo
e tem as suas posição, velocidade e aceleração expressas pelas funções
,
e
, respectivamente, com
em metros e
em segundos. Determine:
e
se
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a velocidade
e a aceleração
de uma partícula cuja posição é dada por
com
em metros e
em segundos. Também é informado que a partícula está inicialmente em repouso e na origem (ou seja,
e
).
Itens que preciso entregar: e
.
Itens que preciso entregar:
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas e diretas): a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em notação:
Aqui
significa “taxa de variação em relação ao tempo”. As unidades seguem:
em metros, então
em metros por segundo (
) e
em metros por segundo ao quadrado (
).
Passo 3
Regra prática que vamos usar (regra do poder): para qualquer constante
e inteiro
,
Isso significa que para termos polinomiais multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1. Exemplo rápido:
.
Passo 4
Agora aplico a regra do poder em cada termo de
para obter
. Diferenciando termo a termo:
derivada de é
,
derivada de é
.
Portanto, em bloco:
derivada de
derivada de
Portanto, em bloco:
Posso factorar para ficar mais compacto (útil na prova):
Lembre-se: essa expressão tem unidade
.
Passo 5
Agora obtenho a aceleração diferenciando
ou fazendo a segunda derivada de
. Vou diferenciar
:
derivada de é
,
derivada de é
.
Então
derivada de
derivada de
Então
Unidade:
.
Passo 6
Verificações rápidas (ajudam na prova): com
temos
portanto as condições iniciais (repouso na origem) estão consistentes. A aceleração inicial é
, ou seja, começa com aceleração positiva.