Uma partícula que está incialmente em repouso e na origem se move ao longo do eixo o x e tem as suas posição, velocidade e aceleração expressas pelas funções x(t), v(t) e a(t), respectivamente, com x em metros e t em segundos. Determine:
v(t) e a(t) se x(t)=12 t^{2}-2 t^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de uma partícula cuja posição é dada por
x(t)=12\,t^{2}-2\,t^{3},
com x em metros e t em segundos. Também é informado que a partícula está inicialmente em repouso e na origem (ou seja, x(0)=0 e v(0)=0).
Itens que preciso entregar: v(t) e a(t).

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas e diretas): a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em notação:
v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Aqui \frac{d}{dt} significa “taxa de variação em relação ao tempo”. As unidades seguem: x em metros, então v em metros por segundo ( \mathrm{m/s}) e a em metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 3

Regra prática que vamos usar (regra do poder): para qualquer constante c e inteiro n,
\frac{d}{dt}\big(c\,t^{n}\big)=c\cdot n\,t^{n-1}.
Isso significa que para termos polinomiais multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1. Exemplo rápido: \frac{d}{dt}(5t^{3})=5\cdot 3\,t^{2}=15t^{2}.

Passo 4

Agora aplico a regra do poder em cada termo de x(t) para obter v(t)=\frac{dx}{dt}. Diferenciando termo a termo:
derivada de 12\,t^{2} é 12\cdot 2\,t^{1}=24\,t,
derivada de -2\,t^{3} é -2\cdot 3\,t^{2}=-6\,t^{2}.
Portanto, em bloco:
v(t)=24\,t-6\,t^{2}.
Posso factorar para ficar mais compacto (útil na prova):
v(t)=6\,t(4-t).
Lembre-se: essa expressão tem unidade \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora obtenho a aceleração diferenciando v(t) ou fazendo a segunda derivada de x(t). Vou diferenciar v(t)=24\,t-6\,t^{2}:
derivada de 24\,t é 24,
derivada de -6\,t^{2} é -6\cdot 2\,t=-12\,t.
Então
a(t)=24-12\,t.
Unidade: \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Verificações rápidas (ajudam na prova): com t=0 temos
x(0)=12\cdot 0^{2}-2\cdot 0^{3}=0,
v(0)=24\cdot 0-6\cdot 0^{2}=0,
portanto as condições iniciais (repouso na origem) estão consistentes. A aceleração inicial é a(0)=24 \mathrm{m/s^{2}}, ou seja, começa com aceleração positiva.

Resposta

v(t)=24\,t-6\,t^{2}
a(t)=24-12\,t

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