Uma partícula que está incialmente em repouso e na origem se move ao longo do eixo o x e tem as suas posição, velocidade e aceleração expressas pelas funções x(t), v(t) e a(t), respectivamente, com x em metros e t em segundos. Determine:
x(t) e a(t) se v(t)=5 t^{2}+t

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Dado: v(t)=5t^{2}+t, função velocidade em função do tempo, com t em segundos e x em metros.
  • Condições iniciais: a partícula está inicialmente em repouso e na origem, ou seja v(0)=0 e x(0)=0.
  • Perguntas: determinar
    1. x(t) — a função posição em metros;
    2. a(t) — a função aceleração em metros por segundo ao quadrado.

Passo 2

Conceitos e relações que vamos usar (explicados devagarzinho):
  • Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Escrevemos isso como
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto significa que, se você conhece x(t), diferenciando você obtém v(t).
  • Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
  • Inversamente, para obter x(t) a partir de v(t) usamos integração:
x(t)=\int v(t)\,dt + C,
onde C é uma constante determinada pela condição inicial x(0).
  • Regras práticas (lembrando como integrar e derivar potências):
    • Derivada: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
    • Integral (primitiva): \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
      Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a(t) como derivada de v(t).
  • Temos v(t)=5t^{2}+t.
  • Aplicando a regra da derivada termo a termo:
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(5t^{2}\bigr)=5\cdot 2t=10t.
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1.
  • Portanto,
a(t)=\frac{dv}{dt}=10t+1.
Observação de unidades: como v está em \text{m/s} e t em s, a(t) está em \text{m/s}^{2}.

Passo 4

Calcular x(t) integrando v(t).
  • Escrevemos
x(t)=\int v(t)\,dt = \int \bigl(5t^{2}+t\bigr)\,dt.
  • Integramos termo a termo usando a regra \int t^{n}dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}:
    • \displaystyle\int 5t^{2}\,dt = 5\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{5}{3}t^{3}.
    • \displaystyle\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}.
  • Somando e adicionando a constante de integração C:
x(t)=\frac{5}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}+C.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial x(0)=0.
  • Avaliando x(0):
x(0)=\frac{5}{3}\cdot 0^{3}+\frac{1}{2}\cdot 0^{2}+C = C.
  • Como x(0)=0, segue C=0.
  • Logo a posição é
x(t)=\frac{5}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar seguro):
  • Derivando x(t):
    • \dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{5}{3}t^{3}\right)=\frac{5}{3}\cdot 3t^{2}=5t^{2}.
    • \dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}t^{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2t=t.
    • Soma: 5t^{2}+t, que é exatamente v(t). Beleza — está consistente.
  • Já calculamos a(t)=10t+1 anteriormente, e ela é a derivada de v(t).

Resposta

x(t)=\dfrac{5}{3}t^{3}+\dfrac{1}{2}t^{2}
a(t)=10t+1

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