Uma partícula que está incialmente em repouso e na origem se move ao longo do eixo
e tem as suas posição, velocidade e aceleração expressas pelas funções
,
e
, respectivamente, com
em metros e
em segundos. Determine:
e
se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
- Dado:
, função velocidade em função do tempo, com em segundos e em metros. - Condições iniciais: a partícula está inicialmente em repouso e na origem, ou seja
e . - Perguntas: determinar
-
— a função posição em metros; -
— a função aceleração em metros por segundo ao quadrado.
-
Passo 2
Conceitos e relações que vamos usar (explicados devagarzinho):
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Escrevemos isso como
Isto significa que, se você conhece
, diferenciando você obtém
.
- Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- Inversamente, para obter
a partir de usamos integração:
onde
é uma constante determinada pela condição inicial
.
- Regras práticas (lembrando como integrar e derivar potências):
- Derivada:
. - Integral (primitiva):
para .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
- Derivada:
Passo 3
Calcular
como derivada de
.
- Temos
. - Aplicando a regra da derivada termo a termo:
-
. -
.
-
- Portanto,
Observação de unidades: como
está em
e
em s,
está em
.
Passo 4
Calcular
integrando
.
- Escrevemos
- Integramos termo a termo usando a regra
: -
. -
.
-
- Somando e adicionando a constante de integração
:
Passo 5
Determinar a constante
usando a condição inicial
.
- Avaliando
:
- Como
, segue . - Logo a posição é
Passo 6
Verificação rápida (pra ficar seguro):
- Derivando
: -
. -
. - Soma:
, que é exatamente . Beleza — está consistente.
-
- Já calculamos
anteriormente, e ela é a derivada de .