- Uma partícula inicialmente no ponto
se move ao longo do eixo
para
, e então ao longo da semicircunferência
até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força
.
Passo 1
O enunciado descreve uma trajetória fechada
formada por dois trechos:
- O segmento do eixo
que vai de até . - A semicircunferência superior dada por
de de volta a .
O campo de forças é
Queremos o trabalho
Pelo Teorema de Green, para
orientada positivamente (sentido anti-horário),
onde
é a região interna à curva
(o semicírculo de raio
acima do eixo
).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Logo, o integrando de Green é
Passo 3
Portanto o trabalho é
Como
é o semicírculo de raio
acima do eixo
, é conveniente usar coordenadas polares:
e
,
. Assim
Passo 4
Calculando as integrais:
Logo
Resposta
O trabalho realizado pela partícula sob o campo
ao percorrer
é