Use o teorema de Green para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
14. \mathbf{F}(x, y)=\left\langle\sqrt{x^{2}+1}, \operatorname{tg}^{-1} x\right\rangle, C é o triângulo de (0,0) a (1,1) a (0,1) a (0,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=\bigl\langle \sqrt{x^2+1},\\ \arctan x\bigr\rangle
e C é o triângulo com vértices (0,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0).
O conteúdo envolvido é o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interior a C.

Passo 2

Precisamos verificar se a orientação de C é positiva (anti-horária). O percurso (0,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0) roda no sentido anti-horário, logo podemos aplicar o Teorema de Green diretamente.

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=\sqrt{x^2+1}, \qquad Q(x,y)=\arctan x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{1}{1+x^2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =0.
Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{1}{1+x^2}.

Passo 4

A região D é o triângulo entre as retas x=0, y=1 e y=x. Podemos descrevê-la como
0\le y\le1, \quad 0\le x\le y.
Então
\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}\frac{1}{1+x^2}\,dA =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{y}\frac{1}{1+x^2}\,dx\,dy.

Passo 5

Primeiro integramos em x:
\int_{0}^{y}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\bigl[\arctan(x)\bigr]_{0}^{y} =\arctan(y).
Agora em y:
\int_{0}^{1}\arctan(y)\,dy =\Bigl[y\,\arctan(y)-\tfrac12\ln\bigl(1+y^2\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}-\tfrac12\ln2.

Resposta

\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln2.

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